2016-天津卷理-09 填-复数

本题导读

本题考查复数的乘法运算、复数相等的充要条件，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 已知 $a,b\in \mathbb{R}$，$i$ 是虚数单位，若 $(1+i)(1-bi)=a$，则 $\frac{a}{b}$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数展开：利用多项式乘法法则展开左侧复数乘法，注意 $i^2=-1$。
2. 整理形式：将展开后的结果整理为标准形式 $A+Bi$。
3. 对应相等：等式右侧为实数 $a$，即虚部为 $0$。根据复数相等的定义（实部等于实部，虚部等于虚部）列出方程组。
4. 求解目标：解方程组求得 $a,b$，计算 $\frac{a}{b}$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 展开左边等式： $(1+i)(1-bi)=1-bi+i-b{i}^2$ 由于 $i^2=-1$，则： $1-bi+i+b=(1+b)+(1-b)i$

2. 建立方程组： 已知 $(1+b)+(1-b)i=a$，且 $a,b\in \mathbb{R}$。 根据复数相等的充要条件： $\{\begin{array}{l}1+b=a\\ 1-b=0\end{array}$

3. 求解： 由 $1-b=0$ 解得 $b=1$。 将 $b=1$ 代入 $1+b=a$ 解得 $a=2$。

4. 计算结果： $\frac{a}{b}=\frac{2}{1}=2$。

最终答案为：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 复数相等法则：两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等。这常用于将一个复数等式转化为两个实数方程。
• 计算细节：在处理复数乘法时，极易在 $i^2$ 的符号转换上出错，务必保证 $b{i}^2=-b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若等式右边为 $a+i$，则方程组将变为 $1+b=a$ 且 $1-b=1$，此时 $b=0,a=1$。
• 常用技巧：在处理更复杂的复数除法或模长问题时，可以利用复数的模性质，如 $|(1+i)(1-bi)|=|a|⟹\sqrt{2}\cdot \sqrt{1+b^2}=|a|$，作为辅助验证手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-05 填-复数
• 2017-全国卷III文-02 单-复数
• 2017-全国卷III理-02 单-复数

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