2016-山东卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的概念（虚数单位 i）、共轭复数，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 若复数 $z$ 满足 $2z+\bar{z}=3-2i$，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z=$ ()

A. $1+2i$　　　　B. $1-2i$　　　　C. $-1+2i$　　　　D. $-1-2i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设代数形式：设 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，则其共轭复数 $\bar{z}=a-bi$。
2. 代入方程：将 $z$ 和 $\bar{z}$ 代入已知方程 $2z+\bar{z}=3-2i$。
3. 整理化简：利用复数的运算法则，将左边整理成实部与虚部分离的标准形式。
4. 建立方程组：根据复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部），列出关于 $a,b$ 的方程组并求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 设复数 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，则 $\bar{z}=a-bi$。 代入方程 $2z+\bar{z}=3-2i$ 得： $2(a+bi)+(a-bi)=3-2i$ 展开并合并同类项： $2a+2bi+a-bi=3-2i$ $(2a+a)+(2bi-bi)=3-2i$ $3a+bi=3-2i$ 根据复数相等的定义，可得： $\{\begin{array}{l}3a=3\\ b=-2\end{array}$ 解得： $\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}$ 所以，$z=1-2i$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 共轭复数：实部相等，虚部互为相反数。
• 待定系数法：解决含有 $z$ 与 $\bar{z}$（或 $|z|$）的复数方程，设 $z=a+bi$ 是最常规且有效的方法。
• 基本运算：复数的加减法遵循实部与实部、虚部与虚部分别相加减的原则。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 特殊性质：若方程为 $z+\bar{z}=k$，则 $2a=k$；若方程为 $z-\bar{z}=ki$，则 $2bi=ki$。
• 几何意义：复数 $z=1-2i$ 在复平面内对应点 $(1,-2)$，位于第四象限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-05 填-复数
• 2017-全国卷III文-02 单-复数
• 2017-全国卷III理-02 单-复数

专题合集 (Series)