2016-山东卷理-02 单-指数

本题导读

本题考查集合的表示方法、指数函数的值域，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 设集合 $A=\{y\mid y=2^x,x\in \mathbb{R}\}$，$B=\{x\mid x^2-1<0\}$，则 $A\cup B=$ ()

A. $(-1,1)$　　　　B. $(0,1)$　　　　C. $(-1,+\infty )$　　　　D. $(0,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 A：集合 A 表示函数 $y=2^x$ 的值域。根据指数函数的性质，$2^x$ 恒大于 0。
2. 化简集合 B：解一元二次不等式 $x^2-1<0$，即 $(x-1)(x+1)<0$。
3. 求并集：将两个集合在数轴上表示出来，取所有元素的合并范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 化简集合 A： 因为指数函数 $y=2^x$ 的值域为 $(0,+\infty )$， 所以 $A=\{y\mid y>0\}=(0,+\infty )$。
2. 化简集合 B： 由 $x^2-1<0$ 得 $(x-1)(x+1)<0$， 解得 $-1<x<1$， 所以 $B=\{x\mid -1<x<1\}=(-1,1)$。
3. 求 $A\cup B$： $A\cup B=(0,+\infty )\cup (-1,1)$。 结合数轴观察可知，合并后的范围从 $-1$ 开始一直延伸到正无穷。 即 $A\cup B=(-1,+\infty )$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 易错点：注意集合 A 中代表的是 $y$（值域），不要误看成自变量 $x$ 的范围。
• 图解法：在处理集合的交、并、补运算时，利用数轴可以直观地避免端点处（开闭区间）的疏漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果题目求的是 $A\cap B$（交集），则结果应为 $(0,1)$。
• 知识关联： 数轴是解决此类集合问题的“万金油”工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-01 填-集合
• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数

专题合集 (Series)