2016-山东卷理-12 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、二项展开式的通项公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 若 $(a{x}^2+\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^5$ 的展开式中 $x^5$ 的系数是 $-80$，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：利用二项展开式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{A}^{n-r}{B}^r$。
2. 化简指数部分：将 $x$ 的所有幂次合并，整理成 $x$ 的某个代数式形式。
3. 确定 $r$ 的值：令 $x$ 的指数等于 $5$，解出 $r$。
4. 建立方程：将 $r$ 代入系数部分，令其等于 $-80$，求出 $a$。

✅【答案】

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-2

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定通项公式： $(a{x}^2+\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^5$ 展开式的通项为： $T_{r+1}=C_5^r(a{x}^2{)}^{5-r}(\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^r$ $T_{r+1}=C_5^r\cdot a^{5-r}\cdot x^{2(5-r)}\cdot x^{-\frac{1}{2}r}$ $T_{r+1}=C_5^r{a}^{5-r}{x}^{10-2r-\frac{r}{2}}$ $T_{r+1}=C_5^r{a}^{5-r}{x}^{10-\frac{5r}{2}}$

2. 求 $r$ 的值： 令 $10-\frac{5r}{2}=5$， 得 $\frac{5r}{2}=5$，解得 $r=2$。

3. 列方程求解 $a$： 当 $r=2$ 时，该项的系数为 $C_5^2{a}^{5-2}=10a^3$。 已知系数为 $-80$，则： $10a^3=-80$ $a^3=-8$ 解得 $a=-2$。

故答案为 -2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 通项公式记忆：注意 $r$ 是从 $0$ 开始到 $n$ 的，第 $r+1$ 项对应的组合数底数是 $r$。
• 幂运算细节：$\frac{1}{\sqrt{x}}$ 应转化为 $x^{-\frac{1}{2}}$，避免在合并指数时出错。
• 系数与二项式系数的区别：题目要求的是“系数”，必须包含前面的常数 $a$ 和组合数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式练习：如果题目要求的是常数项，则令指数部分 $10-\frac{5r}{2}=0$，解得 $r=4$。
• 思维进阶：对于二项式系数最大的项，当 $n=5$ 时，由于是奇数，最大项为第 3 项和第 4 项（$C_5^2$ 和 $C_5^3$）。

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-04 单-二项式定理
• 2017-全国卷I理-06 单-二项式定理
• 2017-浙江卷-13 填-二项式定理

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