2017-浙江卷-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及多项式展开与项的合并。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 已知多项式 $(x+1{)}^3(x+2{)}^2=x^5+a_1{x}^4+a_2{x}^3+a_3{x}^2+a_{4}x+a_5$，则 $a_4=$ $\underline{}$，$a_5=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确目标系数：

• $a_4$ 是 $x$ 的一次项系数。
• $a_5$ 是常数项。

2. 求解 $a_5$（常数项）：

• 方法一（赋值法）：令 $x=0$，左边展开式的每一个含 $x$ 的项都消失，剩下的就是 $a_5$。
• 方法二（常数乘积）：展开式中的常数项是由每个括号里的常数直接相乘得到的。

3. 求解 $a_4$（一次项系数）：

• $x$ 的一次项来源有两种组合方式：
  • 情况一：从 $(x+1{)}^3$ 中选出一次项 $C_3^1{x}^1\cdot 1^2$，从 $(x+2{)}^2$ 中选出常数项 $2^2$。
  • 情况二：从 $(x+1{)}^3$ 中选出常数项 $1^3$，从 $(x+2{)}^2$ 中选出一次项 $C_2^1{x}^1\cdot 2^1$。
• 将两种情况的系数相加即可得到 $a_4$。

✅【答案】

点击查看答案

$16$；$4$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求 $a_5$： 令 $x=0$，代入等式左边得： $(0+1{)}^3\cdot (0+2{)}^2=1^3\cdot 2^2=4$。 等式右边为 $a_5$。 所以 $a_5=4$。

2. 求 $a_4$： $(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$ $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$ 展开式中的 $x$ 项是由一个括号内的一次项与另一个括号内的常数项相乘得到的：

• $(x+1{)}^3$ 的一次项为 $3x$，$(x+2{)}^2$ 的常数项为 $4$，乘积为 $12x$；
• $(x+1{)}^3$ 的常数项为 $1$，$(x+2{)}^2$ 的一次项为 $4x$，乘积为 $4x$。 所以一次项为 $12x+4x=16x$。 即 $a_4=16$。

故答案为：$16$；$4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 赋值法的妙用：在求展开式的各项系数和（令 $x=1$）、常数项（令 $x=0$）或奇偶项系数和时，赋值法极其高效。
• 通项公式的应用：对于更复杂的展开式，可以使用二项展开式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 结合组合数学逻辑进行筛选。
• 本题结构较简单，直接手动展开前几项比套用复杂通项公式更不容易出错。注意 $a_4$ 对应的是 $x^1$ 的系数，不要误认为是 $x^4$（审题细节）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若要求 $x^4$ 的系数 $a_1$，该如何计算？

• 同样采用组合法：$(x+1{)}^3$ 的 $x^3$ 乘 $(x+2{)}^2$ 的 $x^1$ ($1\times 4=4$)，加上 $(x+1{)}^3$ 的 $x^2$ 乘 $(x+2{)}^2$ 的 $x^2$ ($3\times 1=3$)。即 $a_1=4+3=7$。

2. 知识关联：本题考查了二项式定理的灵活变形，这是高考数学中考查代数运算能力的重要载体。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-14 填-二项式定理
• 2004-福建文-09 单-二项式定理
• 2013-大纲卷文-05 单-二项式定理