2017-全国卷III理-04 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） $(x+y)(2x-y{)}^5$ 的展开式中 $x^3{y}^3$ 的系数为 ()

A. $-80$　　　　　　B. $-40$　　　　　　C. $40$　　　　　　D. $80$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结构分析：原式是由单项式 $(x+y)$ 与二项式 $(2x-y{)}^5$ 相乘构成的。要得到 $x^3{y}^3$ 项，可以分为以下两种路径：

• 路径 1：前面的 $x$ 乘以后面展开式中的 $x^2{y}^3$ 项。
• 路径 2：前面的 $y$ 乘以后面展开式中的 $x^3{y}^2$ 项。

2. 利用通项公式：二项式 $(2x-y{)}^5$ 的展开式通项为： $T_{r+1}=C_5^r(2x{)}^{5-r}(-y{)}^r=C_5^r\cdot 2^{5-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{5-r}{y}^r$
3. 计算各路径系数：

• 对于路径 1，令 $r=3$，计算 $x\cdot T_4$。
• 对于路径 2，令 $r=2$，计算 $y\cdot T_3$。

4. 求和：将两个路径得到的系数相加即为最终结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 二项式 $(2x-y{)}^5$ 的展开通项为 $T_{r+1}=C_5^r(2x{)}^{5-r}(-y{)}^r$。

第一步：求路径 1 的贡献 当从 $(x+y)$ 中取 $x$ 时，需从 $(2x-y{)}^5$ 中寻找 $x^2{y}^3$ 项。 此时 $r=3$，该项为： $x\cdot \left[C_5^3(2x{)}^2(-y{)}^3\right]=x\cdot [10\cdot 4x^2\cdot (-y^3)]=-40x^3{y}^3$ 其系数为 $-40$。

第二步：求路径 2 的贡献 当从 $(x+y)$ 中取 $y$ 时，需从 $(2x-y{)}^5$ 中寻找 $x^3{y}^2$ 项。 此时 $r=2$，该项为： $y\cdot \left[C_5^2(2x{)}^3(-y{)}^2\right]=y\cdot [10\cdot 8x^3\cdot y^2]=80x^3{y}^3$ 其系数为 $80$。

第三步：汇总 展开式中 $x^3{y}^3$ 的系数为：$-40+80=40$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 符号陷阱：在二项式中含有负号（如 $-y$）时，一定要把负号看作系数的一部分 $(-1{)}^r$，这是最容易丢分的地方。
• 组合数对称性：注意 $C_5^2=C_5^3=10$，熟记常用的组合数值可以加快解题速度。
• 整体思维：对于 $(ax+by)(cx+dy{)}^n$ 类型的题目，核心是分拆乘法逻辑，确保不重不漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：求所有项系数之和 若求该展开式的所有项系数之和，只需令 $x=1,y=1$ 代入原式： $(1+1)(2-1{)}^5=2\times 1^5=2$。

2. 快速口算技巧： 对于熟练的学生，可以直接列出算式： $1\cdot C_5^3\cdot 2^2\cdot (-1{)}^3+1\cdot C_5^2\cdot 2^3\cdot (-1{)}^2=-40+80=40$。

3. 易错警示： 有的同学会忘记 $(2x{)}^n$ 中的 $2$ 也要参与幂运算。例如在路径 2 中，误将系数记为 $C_5^2=10$，而漏掉了 $2^3=8$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-14 填-二项式定理
• 2004-福建文-09 单-二项式定理
• 2013-大纲卷文-05 单-二项式定理