2017-全国卷I理-06 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及多项式展开式的特定项系数。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） $(1+\frac{1}{x^2})(1+x{)}^6$ 展开式中 $x^2$ 的系数为 ()

A. 15　　　　　　　B. 20　　　　　　　C. 30　　　　　　　D. 35

🔍【思路分析】

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1. 利用分配律拆分：原式可以拆分为两部分之和：$1\cdot (1+x{)}^6+\frac{1}{x^2}\cdot (1+x{)}^6$。
2. 寻找目标项：

• 对于第一部分 $1\cdot (1+x{)}^6$，要得到 $x^2$ 项，需要 $(1+x{)}^6$ 展开式提供 $x^2$。
• 对于第二部分 $\frac{1}{x^2}\cdot (1+x{)}^6$，由于前面有系数 $\frac{1}{x^2}$，为了抵消分母并最终得到 $x^2$，需要 $(1+x{)}^6$ 展开式提供 $x^4$（即 $\frac{1}{x^2}\cdot x^4=x^2$）。

3. 计算二项式系数：利用二项式展开通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 分别求出系数。
4. 求和：将两部分的系数相加得到最终结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】 根据多项式乘法分配律： $(1+\frac{1}{x^2})(1+x{)}^6=(1+x{)}^6+\frac{1}{x^2}(1+x{)}^6$。 二项式 $(1+x{)}^6$ 的展开通项公式为：$T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot 1^{6-r}\cdot x^r={\text{C}}_6^r{x}^r$。

• 第一部分 $(1+x{)}^6$ 中 $x^2$ 的系数： 令 $r=2$，项为 ${\text{C}}_6^2{x}^2=15x^2$。系数为 15。
• 第二部分 $\frac{1}{x^2}(1+x{)}^6$ 中 $x^2$ 的系数： 等价于求 $(1+x{)}^6$ 展开式中 $x^4$ 的系数。 令 $r=4$，项为 ${\text{C}}_6^4{x}^4=15x^4$。 乘以 $\frac{1}{x^2}$ 后得到 $\frac{1}{x^2}\cdot 15x^4=15x^2$。系数为 15。

综上所述，$x^2$ 的总系数为 $15+15=30$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 化繁为简：遇到多项式乘二项式的形式，优先考虑分配律拆分。
• 系数与项的区别：题目问的是“系数”，结果应为常数；若问“项”，则需带上 $x^2$。
• 组合数计算：熟练掌握 ${\text{C}}_n^r={\text{C}}_n^{n-r}$，如本题中 ${\text{C}}_6^2={\text{C}}_6^4$，可以减少重复计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考： 如果题目改为求 $(x-\frac{1}{x^2})(1+x{)}^6$ 展开式中的常数项，你会如何拆分？ （提示：找 $1\cdot x$ 的系数与 $-\frac{1}{x^2}\cdot x^2$ 的系数，即 $C_6^1-C_6^2$）。

2. 负指数幂的处理： 在更复杂的题目中，可以将展开式写成 $\sum$ 求和形式，通过合并 $x$ 的指数幂来建立等式求解 $r$。

3. 帕斯卡三角形（杨辉三角）： 对于次数较小（如 6 次）的展开式，如果忘记了组合数公式，可以通过快速画出杨辉三角的前 6 行来直接读取系数：1, 6, 15, 20, 15, 6, 1。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-14 填-二项式定理
• 2004-福建文-09 单-二项式定理
• 2013-大纲卷文-05 单-二项式定理