2016-山东卷理-16 解-解三角形

本题导读

本题考查三角恒等变换（切化弦）、两角和的正弦公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $2(\tan A+\tan B)=\frac{\tan A}{\cos B}+\frac{\tan B}{\cos A}$.

(1)证明：$a+b=2c$；

(2)求 $\cos C$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明边关系）：

• 切化弦：将方程中的 $\tan A$ 和 $\tan B$ 全部转化为正弦与余弦的比值。
• 化简方程：通分并利用两角和的正弦公式 $\sin A\cos B+\cos A\sin B=\sin (A+B)$。
• 边角转化：利用三角形内角和性质 $\sin (A+B)=\sin C$，再结合正弦定理将正弦比转化为边长比。

2. 第二问（求最值）：

• 代换变量：由 $a+b=2c$ 可知 $c=\frac{a+b}{2}$。
• 运用余弦定理：将 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 中的 $c$ 用 $a,b$ 表示。
• 利用不等式：将式子整理为关于 $\frac{a^2+b^2}{ab}$ 的形式，利用 $a^2+b^2\ge 2ab$ 进行放缩求解。

✅【答案】

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（1）𝑎+𝑏=2𝑐.（2）cos𝐶的最小值为12.

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：

由 $2(\tan A+\tan B)=\frac{\tan A}{\cos B}+\frac{\tan B}{\cos A}$ 得： $2(\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin B}{\cos B})=\frac{\sin A}{\cos A\cos B}+\frac{\sin B}{\cos B\cos A}$ 通分并化简： $2\cdot \frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B}=\frac{\sin A+\sin B}{\cos A\cos B}$ 由于 $\cos A\cos B\ne 0$，两边同乘 $\cos A\cos B$ 得： $2\sin (A+B)=\sin A+\sin B$ 在 $△ABC$ 中，$A+B=\pi -C$，则 $\sin (A+B)=\sin C$。 所以，$2\sin C=\sin A+\sin B$。 根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，可得： $2c=a+b$，即 $a+b=2c$ 获证。

(2)解：

由(1)知 $c=\frac{a+b}{2}$。 代入余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 得： $\cos C=\frac{a^2+b^2-(\frac{a+b}{2}{)}^2}{2ab}=\frac{a^2+b^2-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}}{2ab}$ $\cos C=\frac{4a^2+4b^2-(a^2+2ab+b^2)}{8ab}=\frac{3a^2+3b^2-2ab}{8ab}$ $\cos C=\frac{3}{8}(\frac{a^2+b^2}{ab})-\frac{1}{4}$ 因为 $a^2+b^2\ge 2ab$（当且仅当 $a=b$ 时等号成立）， 所以 $\frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2$。 则 $\cos C\ge \frac{3}{8}\cdot 2-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。 故 $\cos C$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 切化弦的必然性：当题目中同时出现正切、正弦、余弦时，统一化为正余弦通常是突破口。
• 边角互化思想：在解三角形中，利用正弦定理实现“由角转边”是证明等式的常用手段。
• 基本不等式的应用：在求分式最值时，注意观察分子分母的度数，利用均值不等式（基本不等式）进行放缩。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 几何意义：$a+b=2c$ 说明三角形的周长与边长 $c$ 有固定倍数关系。当 $\cos C$ 取最小值 $\frac{1}{2}$ 时，$C=60^{\circ }$，此时 $a=b=c$，三角形为等边三角形。
• 变式练习：若将条件改为 $a+b=\sqrt{2}c$，求 $\cos C$ 的取值范围。这类题目思路完全一致。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-上海卷-18 解-三角综合

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