2016-江苏卷-02 填-复数

本题导读

本题考查复数的乘法运算、复数的代数形式及其相关概念（实部），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 复数 $z=(1+2i)(3-i)$，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的实部是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 执行乘法运算：利用多项式乘法的分配律展开 $(1+2i)(3-i)$。
2. 利用虚数单位性质：牢记 $i^2=-1$，将展开式中的 $i^2$ 项转化为实数。
3. 整理代数形式：将结果合并同类项，整理为 $a+bi$ 的形式。
4. 提取实部：在 $z=a+bi$ 中，$a$ 即为实部，$b$ 为虚部。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

解： $z=(1+2i)(3-i)$ $=1\times 3-1\times i+2i\times 3-2i\times i$ $=3-i+6i-2i^2$ 因为 $i^2=-1$， 所以 $z=3+5i-2(-1)$ $z=3+5i+2$ $z=5+5i$。 对于复数 $z=5+5i$，其实部为 $5$。

故答案为 $5$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 计算规范：展开时注意符号，特别是 $-2i^2$ 变 $+2$ 这一步是常见的失分点。
• 概念区分：
• 实部：$a$
• 虚部：$b$（注意虚部是不带 $i$ 的实数）
• 共轭复数：$\bar{z}=a-bi$

📖【试题探源与推广】

Tip

• 快速求实部技巧： 对于 $(a+bi)(c+di)$，其实部直接由“实乘实”减去“虚乘虚”得到，即 $ac-bd$。 在本题中：$1\times 3-2\times (-1)=3+2=5$。这在选择填空题中可以大幅提高速度。
• 数形结合： 在复平面内，复数 $z=5+5i$ 对应点 $P(5,5)$，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-05 填-复数
• 2017-全国卷III文-02 单-复数
• 2017-全国卷III理-02 单-复数

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