2016-江苏卷-04 填-方差

本题导读

本题考查平均数计算、方差的定义与计算公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 已知一组数据 4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5，则该组数据的方差是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求平均数 $\bar{x}$：将所有数据加和后除以数据个数 $n=5$。
2. 理解方差公式：方差 $s^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$，它反映了数据的波动程度。
3. 分步计算：

• 计算每个数据与平均数的差（离差）；
• 将离差平方；
• 求平方后的平均值。

✅【答案】

点击查看答案

0.1

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算平均数 $\bar{x}$： $\bar{x}=\frac{4.7+4.8+5.1+5.4+5.5}{5}=\frac{25.5}{5}=5.1$。
2. 计算方差 $s^2$： $s^2=\frac{1}{5}[(4.7-5.1{)}^2+(4.8-5.1{)}^2+(5.1-5.1{)}^2+(5.4-5.1{)}^2+(5.5-5.1{)}^2]$ $s^2=\frac{1}{5}[(-0.4{)}^2+(-0.3{)}^2+0^2+0.3^2+0.4^2]$ $s^2=\frac{1}{5}[0.16+0.09+0+0.09+0.16]$ $s^2=\frac{0.5}{5}=0.1$。

故答案为 0.1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 方差的意义：方差越小，数据越稳定；方差越大，数据波动越大。
• 易错提醒：计算过程中容易在“平方”这一步出错，或者漏掉前面的系数 $\frac{1}{n}$。
• 计算技巧：当数据较大且接近时，可以采用“减去一个常数”的方法简化计算，方差保持不变。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 标准差：若题目要求标准差，则为 $\sqrt{s^2}=\sqrt{0.1}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
• 方差的平移不变性：若给这组数据每个数都加上 10，新数据的方差依然是 0.1。
• 可视化理解： 方差可以看作是各个数据点到平均值水平线的“距离平方”的平均，直观展示了数据的离散程度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-18 解-平均数与方差的估计
• 2014-陕西卷文-09 单-均值与方差
• 1982-全国文-04 解-平方差与完全平方求值

专题合集 (Series)