2016-江苏卷-07 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型、对立事件及其概率公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1, 2, 3, 4, 5, 6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本事件总数：先后抛掷 2 次骰子，共有 $6\times 6=36$ 种可能的结果。
2. 选择计算策略：

• 正向计算：点数之和为 2, 3, …, 9。情况较多，计算繁琐。
• 对立事件法：点数之和小于 10 的对立事件是“点数之和 $\ge 10$”。

3. 计算对立事件概率：找出点数之和为 10, 11, 12 的所有组合并计数。
4. 得出结论：利用公式 $P(A)=1-P(\bar{A})$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{5}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 总基本事件数： 先后两次抛掷骰子，总的结果数为 $n=6\times 6=36$。
2. 寻找对立事件： 设事件 $A$ 为“点数之和小于 10”，则其对立事件 $\bar{A}$ 为“点数之和不小于 10”（即 $\ge 10$）。 点数之和不小于 10 的情况有：

• 和为 10：$(4,6),(5,5),(6,4)$，共 3 种；
• 和为 11：$(5,6),(6,5)$，共 2 种；
• 和为 12：$(6,6)$，共 1 种。 对立事件包含的基本事件数 $m=3+2+1=6$。

3. 计算概率： 对立事件的概率 $P(\bar{A})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。 则所求事件的概率 $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。

故答案为 $\frac{5}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 古典概型核心：确保每个基本事件是等可能的。
• 对立事件法的优势：当正面情况非常复杂或难以枚举时，考虑“反面”往往能起到化繁为简的作用。
• 枚举技巧：在枚举点数组合时，建议按顺序（从小到大）排列，以防漏掉或重复计数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 网格列表法： 可以通过画一个 $6\times 6$ 的表格来展示所有 36 种求和结果。表格的右下角代表了点数之和较大的区域。
• 变式思考： 如果题目问的是“点数之积小于 10”的概率，由于积的变化规律不像和那样呈线性增长，此时通常建议直接正面枚举。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
• 2017-全国卷II文-11 单-古典概型
• 2017-北京卷理-17 解-古典概型

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