2016-江苏卷-21D 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的性质、三角不等式 $|a+b|\le |a|+|b|$。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 设 $a>0$，$|x-1|<\frac{a}{3}$，$|y-2|<\frac{a}{3}$，求证：$|2x+y-4|<a$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察目标：我们需要证明 $|2x+y-4|<a$。
2. 寻找联系：已知条件涉及 $(x-1)$ 和 $(y-2)$。
3. 配凑变形：尝试将 $2x+y-4$ 拆解为包含已知项的形式。 $2x+y-4=2x-2+y-2=2(x-1)+(y-2)$。
4. 利用性质：应用绝对值不等式基本性质 $|A+B|\le |A|+|B|$ 以及 $|kA|=|k||A|$。
5. 代入放缩：将已知范围代入，通过算术运算完成证明。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

证明： 因为 $|x-1|<\frac{a}{3}$，所以 $2|x-1|<\frac{2a}{3}$。 又因为 $|y-2|<\frac{a}{3}$。 利用绝对值不等式性质： $|2x+y-4|=|(2x-2)+(y-2)|$ $=|2(x-1)+(y-2)|$ $\le |2(x-1)|+|y-2|$ $=2|x-1|+|y-2|$。 代入已知的不等关系： $2|x-1|+|y-2|<\frac{2a}{3}+\frac{a}{3}=\frac{3a}{3}=a$。 所以，$|2x+y-4|<a$ 获证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式：绝对值三角不等式 $|a\pm b|\le |a|+|b|$ 是此类证明题的灵魂。
• 配凑意识：解题的关键在于能否敏锐发现 $2x+y-4$ 与 $(x-1),(y-2)$ 之间的系数对应关系。
• 等号成立条件：虽然本题是证明严格小于，但习惯上应清楚，当 $2(x-1)$ 与 $(y-2)$ 同号时，第一步放缩取等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 几何意义： 在平面直角坐标系中，$|x-1|<\delta$ 和 $|y-2|<\delta$ 定义了一个以 $(1,2)$ 为中心的矩形区域。本题本质上是证明该矩形区域被包含在由两条平行线 $2x+y-4=\pm a$ 构成的带状区域内。
  • 一般化推广：若条件变为 $|x-x_0|<{ϵ}_1$ 和 $|y-y_0|<{ϵ}_2$，则 $|mx+ny-(m{x}_0+n{y}_0)|\le |m|{ϵ}_1+|n|{ϵ}_2$ 恒成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

专题合集 (Series)