2016-浙江卷理-01 单-集合

本题导读

本题考查集合的基本运算（补集、并集）、二次不等式的解法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 已知集合 $P=\{x\in \mathbb{R}\mid 1\le x\le 3\}$，$Q=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2\ge 4\}$，则 $P\cup ({\complement }_{\mathbb{R}}Q)=$ ()

A. $[2,3]$　　B. $(-2,3]$　　C. $[1,2)$　　D. $(-\infty ,-2]\cup [1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 Q：解二次不等式 $x^2\ge 4$，得到集合 $Q$ 的具体范围。
2. 求补集 ${\complement }_{\mathbb{R}}Q$：在实数集范围内，取集合 $Q$ 范围之外的部分。注意边界点的开闭情况（原集合含等号，补集则不含）。
3. 并集运算：将集合 $P$ 与 ${\complement }_{\mathbb{R}}Q$ 合并，建议使用数轴直观展示重叠与合并区域。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 解集合 Q： 由 $x^2\ge 4$，解得 $x\ge 2$ 或 $x\le -2$。 即 $Q=\{x\mid x\le -2\text{ 或 }x\ge 2\}$。

2. 求补集 ${\complement }_{\mathbb{R}}Q$： 在实数集 $\mathbb{R}$ 中，集合 $Q$ 之外的部分为： ${\complement }_{\mathbb{R}}Q=\{x\mid -2<x<2\}$。

3. 求并集 $P\cup ({\complement }_{\mathbb{R}}Q)$： 已知 $P=\{x\mid 1\le x\le 3\}$， 则 $P\cup ({\complement }_{\mathbb{R}}Q)=\{x\mid 1\le x\le 3\}\cup \{x\mid -2<x<2\}$。 利用数轴合并两段区间，起点为 $-2$（开），终点为 $3$（闭）。 即 $P\cup ({\complement }_{\mathbb{R}}Q)=(-2,3]$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 补集的易错点：求补集时，原集合的“闭”对应补集的“开”。例如 $Q$ 中包含 $2$ 和 $-2$，则其补集中不包含这两个点。
• 并集与交集的区分：并集（$\cup$）是“全收”，交集（$\cap$）是“取公共”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目要求的是 $P\cap ({\complement }_{\mathbb{R}}Q)$，结果会是什么？
  • 提示：取 $1\le x\le 3$ 与 $-2<x<2$ 的公共部分，结果为 $[1,2)$，即选项 C。
• 常用技巧：处理集合运算题目时，画数轴是避免粗心、理清区间边界最稳妥的方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-01 填-集合
• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-01 单-集合

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