2016-浙江卷理-08 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的性质（三角不等式）、命题的真假判定，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 已知实数 $a,b,c$. ()

A. 若 $|a^2+b+c|+|a+b^2+c|\le 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$

B. 若 $|a^2+b+c|+|a^2+b-c|\le 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$

C. 若 $|a+b+c^2|+|a+b-c^2|\le 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$

D. 若 $|a^2+b+c|+|a+b^2-c|\le 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 策略选择：此类题目正面证明 $a^2+b^2+c^2<100$ 非常繁琐，最有效的策略是构造反例（特殊值法）。如果能找到一组 $a,b,c$ 满足前提条件但平方和 $\ge 100$，即可排除该项。
2. 寻找突破口：观察 A, B, C 三项，总有一个变量（如 A 中的 $c$，B 中的 $b$，C 中的 $a$ 或 $b$）只以一次项形式出现。如果这个一次项可以通过取相反数或特定大值在两个绝对值式子中被“抵消”或“对冲”，那么该变量就可以取极大值。
3. 对比 D 项：D 项的结构中，$a$ 和 $b$ 都有二次项约束，而 $c$ 虽然是一次项，但在两个绝对值中符号相反（$+c$ 与 $-c$）。根据 $|x|+|y|\ge |x+y|$，相加可以消去 $c$，从而使 $a,b$ 受到严格约束；反之相减可以约束 $c$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 排除 A： 令 $a=b=10$。条件变为 $|110+c|+|110+c|\le 1$。 取 $c=-110$，则 $0+0\le 1$ 成立。 此时 $a^2+b^2+c^2=100+100+12100>100$。故 A 错误。

2. 排除 B： 利用三角不等式：$|a^2+b+c|+|a^2+b-c|\ge |(a^2+b+c)-(a^2+b-c)|=|2c|$。 得 $|2c|\le 1⟹|c|\le 0.5$。$c$ 被约束了。 但令 $a=0,b=-100$，则条件变为 $|-100+c|+|-100-c|\le 1$。 取 $c=0$，则 $100+100=200\nleqq 1$。 重新调整：令 $a=10,b=-100$，则 $|100-100+c|+|100-100-c|=2|c|\le 1$。 取 $c=0$，满足条件，但 $a^2+b^2+c^2=100+10000+0>100$。故 B 错误。

3. 排除 C： 同理可证 $|2c^2|\le 1⟹c^2\le 0.5$。 令 $a=100,b=-100,c=0$，满足 $|0|+|0|\le 1$。 此时 $a^2+b^2+c^2=10000+10000+0>100$。故 C 错误。

4. 分析 D： 利用三角不等式相加： $1\ge |a^2+b+c|+|a+b^2-c|\ge |(a^2+b+c)+(a+b^2-c)|=|a^2+a+b^2+b|$。 即 $|(a+\frac{1}{2}{)}^2+(b+\frac{1}{2}{)}^2-\frac{1}{2}|\le 1$。 这说明 $a$ 和 $b$ 的取值范围被限制在一个以 $(-1/2,-1/2)$ 为中心的小圆区域内（$a,b$ 均在 $[-2,2]$ 附近）。 再由 $|a^2+b+c|\le 1$ 知 $|c|\le 1+|a^2+b|$。由于 $a,b$ 很小，$c$ 也被限制在很小的范围内。 因此 $a^2+b^2+c^2$ 必然无法达到 100。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 反例构造技巧：在含有 $a^2,b,c$ 等混合项的不等式中，若想让平方和变大，应尝试让一次项去“抵消”二次项的大值。

• 绝对值三角不等式的核心应用：

  • $|f(x)|+|g(x)|\ge |f(x)+g(x)|$ （用于消去符号相反的项）
  • $|f(x)|+|g(x)|\ge |f(x)-g(x)|$ （用于消去符号相同的项）

• 结构敏感度：D 选项的 $+c$ 与 $-c$ 形成了完美的闭环约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若条件改为 $|a^2-b+c|+|a-b^2+c|\le 1$，是否仍能排除？
  • 提示：依然可以。只要 $c$ 在两项中符号相同且没有对应的二次项 $c^2$ 约束，就可以通过取极小的负值来抵消。
• 常用结论：对于变量 $x$，若 $|x^2+px+q|\le M$，则 $x$ 的范围是被锁定的；但若只有 $|x+constant|\le M$，则 $x$ 本身不一定被锁定，除非 constant 也是被锁定的。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

专题合集 (Series)