2017-上海卷-07 填-空间直角坐标系

本题导读

本题考查空间直角坐标系，以及空间向量的坐标表示与运算。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 如图，以长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的顶点 $D$ 为坐标原点，过 $D$ 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若向量 $\overrightarrow{D{B}_1}$ 的坐标为 $(4,3,2)$，则向量 $\overrightarrow{A{C}_1}$ 的坐标是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析已知向量：在以 $D$ 为原点的坐标系中，$\overrightarrow{D{B}_1}$ 的坐标即为点 $B_1$ 的坐标。由此可知长方体在 $x,y,z$ 轴上的棱长分别为 $4,3,2$。
2. 确定关键点坐标：

• 点 $A$ 位于 $x$ 轴上，坐标为 $(4,0,0)$。
• 点 $C_1$ 位于 $yDz$ 平面平移后的位置，其投影在 $y$ 轴为 $3$，在 $z$ 轴为 $2$，且 $x$ 坐标为 $0$，故坐标为 $(0,3,2)$。

3. 计算向量坐标：利用向量终点坐标减起点坐标的公式：$\overrightarrow{A{C}_1}=C_1-A$。

✅【答案】

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$(-4,3,2)$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $(-4,3,2)$ 【解析过程】 建立如图所示的空间直角坐标系，$D$ 为原点 $(0,0,0)$。 因为 $\overrightarrow{D{B}_1}=(4,3,2)$， 所以 $B_1$ 点的坐标为 $(4,3,2)$。 由此推得长方体的相关顶点坐标如下：

• $A(4,0,0)$
• $C(0,3,0)$
• $C_1(0,3,2)$ 则向量 $\overrightarrow{A{C}_1}=(0-4,3-0,2-0)$ 即 $\overrightarrow{A{C}_1}=(-4,3,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 坐标定义：在空间直角坐标系中，$\overrightarrow{OP}=(x,y,z)$ 当且仅当 $P$ 点的坐标为 $(x,y,z)$，其中 $O$ 为原点。
• 向量运算公式：若 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，则 $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$。
• 在长方体中，观察向量从起点到终点在三个坐标轴方向上的“位移”是最快的方法。从 $A$ 到 $C_1$：沿 $x$ 轴负方向走 4 个单位（$-4$），沿 $y$ 轴正方向走 3 个单位（$+3$），沿 $z$ 轴正方向走 2 个单位（$+2$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：向量 $\overrightarrow{B{D}_1}$ 的坐标是多少？（提示：$B(4,3,0)$，$D_1(0,0,2)$，结果为 $(-4,-3,2)$）。
2. 知识关联：空间向量的模长 $|\overrightarrow{A{C}_1}|=\sqrt{(-4{)}^2+3^2+2^2}=\sqrt{29}$，这同时也是长方体对角线的长度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II理-09 单-空间直角坐标系
• 2018-天津卷理-17 解-空间直角坐标系
• 2019-天津卷理-17 解-空间直角坐标系