2017-上海卷-17 解-立体几何综合

本题导读

本题考查棱柱的体积公式。核心在于几何运算法、定义法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的底面为直角三角形，两直角边 $AB$ 和 $AC$ 的长分别为 $4$ 和 $2$，侧棱 $A{A}_1$ 的长为 $5$.

(1)求三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的体积；

(2)设 $M$ 是 $BC$ 中点，求直线 $A_{1}M$ 与平面 $ABC$ 所成角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（体积）：

• 确定底面 $△ABC$ 是直角三角形，面积 $S_{\text{底}}=\frac{1}{2}AB\cdot AC$。
• 体积 $V=S_{\text{底}}\cdot h$，其中高 $h=A{A}_1$。

2. 第二问（线面角）：

• 寻找投影：因为是直三棱柱，$A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$。所以点 $A_1$ 在平面 $ABC$ 内的投影是点 $A$。
• 确定角：直线 $A_{1}M$ 在平面 $ABC$ 内的投影为 $AM$，因此 $\angle A_{1}MA$ 即为直线 $A_{1}M$ 与平面 $ABC$ 所成的角。
• 定量计算：在 $△ABC$ 中利用勾股定理求出 $BC$，再利用直角三角形斜边中线性质求出 $AM$。最后在直角 $△A_{1}AM$ 中利用正切函数求解。

✅【答案】

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$（1）20.（2）arctan\surd 5.$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)因为直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的底面为直角三角形，两直角边 $AB=4$，$AC=2$， 所以底面面积 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 4\times 2=4$。 三棱柱的体积 $V=S_{△ABC}\cdot A{A}_1=4\times 5=20$。

(2)连接 $AM$。 因为 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$， 所以 $AM$ 为 $A_{1}M$ 在平面 $ABC$ 上的射影。 则 $\angle A_{1}MA$ 是直线 $A_{1}M$ 与平面 $ABC$ 所成的角。 在直角 $△ABC$ 中，$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。 因为 $M$ 是 $BC$ 的中点，根据直角三角形斜边中线性质： $AM=\frac{1}{2}BC=\sqrt{5}$。 在 $\text{Rt}△A_{1}AM$ 中，$\tan \angle A_{1}MA=\frac{A{A}_1}{AM}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。 所以直线 $A_{1}M$ 与平面 $ABC$ 所成角的大小为 $\arctan \sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 体积计算：直棱柱的高即为侧棱长，公式简单但需注意底面面积计算不要漏掉 $1/2$。
• 线面角作法：寻找垂线（$A{A}_1$）是关键。线面角、二面角等空间角的计算通常归结为平面内的直角三角形。
• 对于 $M$ 为中点求 $AM$ 的步骤，也可以通过 $A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(0,2)$ 建立坐标系求解 $M(2,1)$，从而算得 $AM=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若要求点 $A$ 到平面 $A_{1}BC$ 的距离，应如何思考？（提示：利用等体积法 $V_{A-A_{1}BC}=V_{A_1-ABC}$）。
2. 知识关联：本题考查的是立体几何的传统几何法。在处理更复杂的角度（如异面直线所成的角）时，空间向量法也是强有力的工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-19 解-立体几何综合
• 2015-新课标I卷文-18 解-立体几何综合
• 2015-福建卷文-20 解-立体几何综合