2017-上海卷-19 解-数列综合

本题导读

本题考查数列的应用。核心在于数学建模法、分类求和法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 根据预测，某地第 $n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 个月共享单车的投放量和损失量分别为 $a_n$ 和 $b_n$ (单位：辆)，其中 $a_n=\{\begin{array}{ll}5n^2+15,& n=1,2,3\\ -10n+470,& n\ge 4\end{array}$，$b_n=5+n$.第 $n$ 个月底的共享单车保有量是前 $n$ 个月的累计投放量与累计损失量的差.

(1)求该地区第 4 个月底的共享单车保有量；

(2)已知该地共享单车停放点第 $n$ 个月底的单车容纳量 $S_n=-4(n-46{)}^2+8800$ (单位：辆)，设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

🔍【思路分析】

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1. 第一问（保有量计算）：

• 保有量 $W_n={\sum }_{i=1}^n{a}_i-{\sum }_{i=1}^n{b}_i$。
• 直接计算 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 和 $b_1,b_2,b_3,b_4$ 的各项数值并求和相减。

2. 第二问（最值判定与比较）：

• 寻找最大值节点：保有量 $W_n$ 增加的条件是当月投放量大于损失量，即 $a_n\ge b_n$。解不等式找出使得 $W_n$ 停止增长的临界点 $n$。
• 累计求和：由于 $a_n$ 在 $n\ge 4$ 时是等差数列，分段求出累计投放量和累计损失量。
• 大小比较：计算最大保有量 $W_{n_{\max }}$ 与对应月份的容纳量 $S_{n_{\max }}$，得出结论。

✅【答案】

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（1）935.（2）不能.

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)前 4 个月累计投放量为： $a_1+a_2+a_3+a_4=(5\times 1^2+15)+(5\times 2^2+15)+(5\times 3^2+15)+(-10\times 4+470)=20+35+60+430=545$。 前 4 个月累计损失量为： $b_1+b_2+b_3+b_4=(5+1)+(5+2)+(5+3)+(5+4)=6+7+8+9=30$。 所以第 4 个月底的保有量为 $545-30=515$。

(2)令 $a_n\ge b_n$，探究保有量何时达到最大。 当 $n\le 3$ 时，$a_n>b_n$ 显然成立。 当 $n\ge 4$ 时，$-10n+470\ge 5+n$，解得 $11n\le 465$，即 $n\le 42.27$。 由于 $n$ 为正整数，说明从第 1 个月到第 42 个月，每月投放量均大于损失量，保有量一直在增加；从第 43 个月开始，投放量小于损失量，保有量开始减少。 故第 42 个月底，保有量达到最大值 $W_{42}$。

计算 $W_{42}$： 前 3 个月累计投放量为 $20+35+60=115$。 第 4 到 42 个月（共 39 项）投放量为首项 $a_4=430$，末项 $a_{42}=-10(42)+470=50$ 的等差数列。 累计投放量 $A_{42}=115+\frac{39(430+50)}{2}=115+9360=9475$。 前 42 个月累计损失量为首项 $b_1=6$，末项 $b_{42}=47=5+42$ 的等差数列。 累计损失量 $B_{42}=\frac{42(6+47)}{2}=1113$。 最大保有量 $W_{42}=9475-1113=8362$。

比较容纳量： 第 42 个月底的容纳量 $S_{42}=-4(42-46{)}^2+8800=-4\times 16+8800=8736$。 因为 $8362<8736$。 所以该保有量没有超出此时停放点的单车容纳量。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 实际问题的数学化：保有量 = $\sum a_i-\sum b_i$ 是本题的核心建模逻辑。
• 临界点思想：在离散数列中，寻找最值点通常转化为解不等式 $a_n-b_n\ge 0$，这与连续函数中导数为 0 的逻辑类似。
• 分段处理：处理 $a_n$ 时，必须注意 $n\le 3$ 与 $n\ge 4$ 的衔接，等差数列项数计算（$42-4+1=39$）是易错点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：如果损失量 $b_n$ 也是分段函数，或者与保有量成正比（更贴近实际），该如何求解？
2. 管理决策：通过本题模型，管理者可以预测在第 43 个月后由于保有量下降，是否需要增加投放或调整容纳空间，体现了数学对社会治理的指导作用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-23 解-数列综合
• 2015-福建卷文-17 解-数列综合
• 2020-江苏卷-20 解-数列综合