2017-全国卷I文-13 填-向量垂直

本题导读

考查平面向量的线性坐标运算以及向量垂直的坐标表示（数量积为零），属于基础题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(-1,2)$，$\mathbf{b}=(m,1)$，若向量 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 垂直，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 先计算向量的加法：$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(-1+m,2+1)=(m-1,3)$。
2. 根据两向量垂直的充要条件，其数量积为 0，即 $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{a}=0$。
3. 代入坐标建立方程求解 $m$。

✅【答案】

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7

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(-1,2)$，$\mathbf{b}=(m,1)$， 所以 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(-1+m,2+1)=(m-1,3)$。 因为向量 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 垂直， 所以 $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{a}=0$， 即 $(m-1)(-1)+3\times 2=0$ $-m+1+6=0⟹-m+7=0⟹m=7$。 故答案为：7。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量加法坐标运算、垂直条件 ${\mathbf{x}}_1{\mathbf{x}}_2+{\mathbf{y}}_1{\mathbf{y}}_2=0$。
2. 核心方法：坐标直接代入法。
3. 避坑指南：注意参与运算的是向量 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与向量 $\mathbf{a}$，切勿误算成 $\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 垂直。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考平面向量基础填空题。
2. 结论推广: 向量垂直的坐标充要条件是纵横坐标乘积之和等于零。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直
• 2019-北京卷文-09 填-向量垂直
• 2019-全国卷I文-08 单-向量垂直