2017-全国卷I理-08 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图，以及循环结构。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 如图程序框图是为了求出满足 $3^n-2^n>1000$ 的最小偶数 $n$，那么在 ① 和 ② 两个空白框中，可以分别填入 ()

A. $A>1000$ 和 $n=n+1$　　　　　　B. $A>1000$ 和 $n=n+2$

C. $A\le 1000$ 和 $n=n+1$　　　　　　　D. $A\le 1000$ 和 $n=n+2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确目标：寻找满足不等式 $3^n-2^n>1000$ 的最小偶数 $n$。
2. 分析循环更新框 ②：

• 初始值为 $n=0$。
• 要求 $n$ 为偶数，则每次循环 $n$ 的增量必须是 2，即 $n=n+2$。若增量为 1，则会遍历奇数，不符合题意。

3. 分析判断框 ①：

• 观察框图结构，当满足判断框条件时，执行循环体（更新 $n$ 和 $A$）；当不满足条件时，跳出循环并输出 $n$。
• 我们需要在不满足条件时输出那个“刚好大于 1000”的 $n$，说明在循环内部，$A$ 应该是一直“不满足最终要求”的状态。
• 即：只要 $A\le 1000$，就继续增加 $n$ 进行计算；一旦 $A>1000$，循环终止。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 第一步：确定更新逻辑（框 ②） 由于题目要求寻找的是“最小偶数 $n$”，且起始 $n=0$ 是偶数。为了保证 $n$ 始终在偶数序列（0, 2, 4, 6…）中变化，步长必须为 2。 故框 ② 应填入：$n=n+2$。 由此排除 A、C 选项。

第二步：确定判定条件（框 ①） 该程序框图属于“当型循环”或“直到型循环”的一种变体。

• 如果填 $A>1000$，则初始 $A=3^0-2^0=0$ 不满足条件，程序将直接跳出，输出 $n=0$，这显然不符合逻辑。
• 如果填 $A\le 1000$，当 $A=0$ 时满足条件，进入循环，令 $n=2$，$A=3^2-2^2=5$；继续判断 $5\le 1000$ 成立，再循环… 直到某次 $A$ 超过 1000，判断为“否”，退出循环输出此时的 $n$。这正是寻找“满足条件的最小值”的典型逻辑。 故框 ① 应填入：$A\le 1000$。

综上所述，① 填 $A\le 1000$，② 填 $n=n+2$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 循环逻辑识别：注意判断框的“是”与“否”对应的分支。通常，“是”分支指向循环体代表“继续循环的条件”；“否”分支指向输出代表“终止循环的条件”。
• 步长控制：求偶数用 $n+2$，求奇数用 $n+2$（起始值设为 1），求所有自然数用 $n+1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 思考： 若题目要求满足 $3^n-2^n>1000$ 的最大偶数 $n$（假设存在上限），框图逻辑将完全不同。

2. 常见陷阱： 很多学生会根据题目中的 $3^n-2^n>1000$ 直接在判断框选 $A>1000$。一定要看清退出循环的路径。如果“是”路径是退出，那么选 $A>1000$；如果“否”路径是退出（如本题），则选反向条件 $A\le 1000$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-15 填-程序框图
• 2009-广东卷文-11 填-程序框图
• 2012-新课标卷文-06 单-程序框图