2017-全国卷II文-07 单-线性规划

本题导读

考查简单线性规划求目标函数最小值问题，通过画出可行域并在顶点处检验求解。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}2x+3y-3⩽0,\\ 2x-3y+3⩾0,\\ y+3⩾0,\end{array}$ 则 $z=2x+y$ 的最小值是 ()

A. $-15$　　　　　　　B. $-9$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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1. 画出不等式组所表示的平面区域（可行域）。
2. 求出可行域的各顶点坐标。
3. 将顶点坐标代入目标函数 $z=2x+y$ 中，比较大小得出最小值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

作出不等式组对应的边界直线： $l_1:2x+3y-3=0$； $l_2:2x-3y+3=0$； $l_3:y+3=0$。 联立边界求出三个交点（顶点）： ① 联立 $l_1$ 与 $l_2$：相加得 $4x=0⟹x=0$，代入得 $y=1$，交点为 $(0,1)$。 ② 联立 $l_2$ 与 $l_3$：$y=-3$，代入 $2x-3(-3)+3=0⟹2x+12=0⟹x=-6$，交点为 $(-6,-3)$。 ③ 联立 $l_1$ 与 $l_3$：$y=-3$，代入 $2x+3(-3)-3=0⟹2x-12=0⟹x=6$，交点为 $(6,-3)$。 将三个顶点代入目标函数 $z=2x+y$：

• 在点 $(0,1)$ 处：$z=2(0)+1=1$；
• 在点 $(-6,-3)$ 处：$z=2(-6)+(-3)=-12-3=-15$；
• 在点 $(6,-3)$ 处：$z=2(6)+(-3)=12-3=9$。 经比较，最小值为 $-15$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划最优解、顶点检验法。
2. 核心方法：几何图解法与代数顶点代入法。
3. 避坑指南：画图或联立交点时要确保无一遗漏，保证所有边界构成的封闭区域顶点全部参与检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常规选择题。
2. 结论推广: 线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划