2017-全国卷III文-05 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及线性目标函数取值范围的求解。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}3x+2y-6\le 0,\\ x\ge 0,\\ y\ge 0,\end{array}$ 则 $z=x-y$ 的取值范围是 ()

A. $[-3,0]$　　　　B. $[-3,2]$　　　　C. $[0,2]$　　　　D. $[0,3]$

🔍【思路分析】

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1. 画出不等式组表示的可行域（三角形区域）。
2. 求出可行域各顶点坐标。
3. 将顶点代入目标函数 $z=x-y$，比较得出取值范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

约束条件 $\{\begin{array}{l}3x+2y-6\le 0,\\ x\ge 0,\\ y\ge 0\end{array}$ 围成一个三角形可行域。 边界直线 $3x+2y-6=0$ 与坐标轴交于 $(2,0)$ 和 $(0,3)$。 可行域的三个顶点为 $(0,0)$、$(2,0)$、$(0,3)$。 将三个顶点代入目标函数 $z=x-y$：

• 点 $(0,0)$：$z=0$；
• 点 $(2,0)$：$z=2$；
• 点 $(0,3)$：$z=-3$。 所以 $z$ 的取值范围为 $[-3,2]$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域、线性目标函数最值与取值范围。
2. 核心方法：角点检验法。
3. 避坑指南：求取值范围应同时关注最大值与最小值，勿只求其一。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考线性规划常规题。
2. 结论推广：线性目标函数的最值必在可行域顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划