2017-全国卷III理-13 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x+y-2\le 0\\ y\ge 0\end{array}$，则 $z=3x-4y$ 的最小值为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：根据三个不等式画出直角坐标系中的平面区域。

• $x-y\ge 0\Rightarrow y\le x$（直线 $y=x$ 的下方）；
• $x+y-2\le 0\Rightarrow y\le -x+2$（直线 $y=-x+2$ 的下方）；
• $y\ge 0$（$x$ 轴上方）。

2. 确定交点（顶点）：求解各直线的交点坐标。
3. 分析目标函数：将 $z=3x-4y$ 变形为斜率形式 $y=\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}$。

• 直线的纵截距为 $-\frac{z}{4}$。要使 $z$ 最小，则截距 $-\frac{z}{4}$ 需最大。

4. 平移寻找最优解：通过平移直线寻找可行域内使纵截距最大的点。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：确定可行域 由约束条件可知可行域是一个三角形区域，其顶点由以下直线交点构成：

• 联立 $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y-2=0\end{array}\Rightarrow A(1,1)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ y=0\end{array}\Rightarrow O(0,0)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ y=0\end{array}\Rightarrow B(2,0)$。

第二步：分析目标函数 目标函数 $z=3x-4y$ 可化为 $y=\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}$。 这是一组斜率为 $\frac{3}{4}$ 的平行直线。当直线向上平移时，纵截距 $-\frac{z}{4}$ 变大，从而 $z$ 变小。

第三步：代入顶点求最值 将三个顶点坐标分别代入 $z=3x-4y$ 进行比较：

• 代入 $O(0,0)$ 得 $z=3(0)-4(0)=0$；
• 代入 $B(2,0)$ 得 $z=3(2)-4(0)=6$；
• 代入 $A(1,1)$ 得 $z=3(1)-4(1)=-1$。

通过对比可知，$z$ 的最小值为 $-1$。

故答案为：$-1$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 截距的正负关系：在 $z=ax+by$ 型问题中，若 $b<0$（如本题的 $-4$），$z$ 的最小值对应纵截距的最大值。
• 角点法：对于线性规划，最优解通常在可行域的顶点处取得。若目标函数的斜率不与边界重合，直接代入所有顶点计算是最稳妥的办法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：求最大值 由计算可知，在点 $B(2,0)$ 处取得最大值 $6$。

2. 几何意义拓展： 如果目标函数变为 $z=x^2+y^2$，则物理意义变为可行域内的点到原点距离的平方，最小值在 $(0,0)$，最大值在 $(2,0)$。

3. 易错警示： 画图时一定要注意不等号的方向。如果将 $x-y\ge 0$ 误画为上方区域，会导致选错顶点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划