2017-北京卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的乘法运算，以及复数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 若复数 $(1-i)(a+i)$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是 ()

A. $(-\infty ,1)$　　　　B. $(-\infty ,-1)$　　　　C. $(1,+\infty )$　　　　D. $(-1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数化简：首先将复数乘积展开，利用 $i^2=-1$ 化为标准形式 $x+yi$。
2. 确定象限条件：

• 第二象限的点满足：实部 < 0 且 虚部 > 0。

3. 建立不等式组：根据上述符号特征列出关于 $a$ 的不等式组并求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 设复数为 $z$，则： $z=(1-i)(a+i)$ $z=a+i-ai-i^2$ $z=a+i-ai+1$ $z=(a+1)+(1-a)i$ 因为复数 $z$ 在复平面内对应的点在第二象限， 所以其坐标为 $(a+1,1-a)$，且满足： $\{\begin{array}{l}a+1<0\\ 1-a>0\end{array}$ 解得： $\{\begin{array}{l}a<-1\\ a<1\end{array}$ 取交集得 $a<-1$。 用区间表示为 $(-\infty ,-1)$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 计算准确性：展开复数乘法时，$-i\cdot i=-i^2=1$ 是极易出错的符号细节。
• 象限记忆：
  • 第一象限：$(+,+)$
  • 第二象限：$(-,+)$
  • 第三象限：$(-,-)$
  • 第四象限：$(+,-)$
• 代数与几何转化：复数的题目往往是“披着几何外衣的代数运算”，核心在于准确提取实部和虚部。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理复数在坐标轴上的特殊情况：

• 若复数在 实轴 上：虚部 $=0$。
• 若复数在 虚轴 上：实部 $=0$。
• 若复数是 纯虚数：实部 $=0$ 且 虚部 $\ne 0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-02 单-复数
• 2014-湖南卷文-11 填-复数
• 2014-福建卷文-02 单-复数