2017-北京卷理-12 填-诱导公式

本题导读

本题考查终边关于坐标轴对称的角的关系，以及诱导公式。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 $Ox$ 为始边，它们的终边关于 $y$ 轴对称.若 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$，则 $\cos (\alpha -\beta )=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化对称关系：若角 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称，则它们的弧度数满足 $\alpha +\beta =(2k+1)\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。简单表示为 $\beta =\pi -\alpha$（或 $\beta =180^{\circ }-\alpha$）。
2. 建立三角函数联系：

• $\sin \beta =\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$
• $\cos \beta =\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$

3. 展开目标公式：利用两角差的余弦公式 $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$。
4. 代换与求值：将 $\beta$ 的三角函数换算为 $\alpha$ 的三角函数，最后利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 计算。

✅【答案】

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$-\frac{7}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-\frac{7}{9}$ 【解析过程】 第一步：确定角的关系 由角 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称，取 $\beta =\pi -\alpha$。 则有： $\sin \beta =\sin \alpha =\frac{1}{3}$ $\cos \beta =-\cos \alpha$

第二步：展开求值公式 $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ 代入 $\cos \beta =-\cos \alpha$ 和 $\sin \beta =\sin \alpha$： $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot (-\cos \alpha )+\sin \alpha \cdot \sin \alpha$ $\cos (\alpha -\beta )=-{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha$

第三步：利用同角恒等式化简 利用 ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$ 代入： $\cos (\alpha -\beta )=-(1-{\sin }^2\alpha )+{\sin }^2\alpha$ $\cos (\alpha -\beta )=2{\sin }^2\alpha -1$

第四步：代入已知数据 已知 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$，则： $\cos (\alpha -\beta )=2\times (\frac{1}{3}{)}^2-1=2\times \frac{1}{9}-1=\frac{2}{9}-\frac{9}{9}=-\frac{7}{9}$。 故答案为：$-\frac{7}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对称性结论总结：
• 关于 $y$ 轴对称：$\alpha +\beta =\pi$ $⟹\sin \alpha =\sin \beta ,\cos \alpha =-\cos \beta$。
• 关于 $x$ 轴对称：$\alpha +\beta =2\pi$ $⟹\sin \alpha =-\sin \beta ,\cos \alpha =\cos \beta$。
• 关于原点对称：$\alpha -\beta =\pi$ $⟹\sin \alpha =-\sin \beta ,\cos \alpha =-\cos \beta$。
• 公式选择：本题最后一步转化成了二倍角的余弦公式形式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$，注意本题算出来的是 $-\cos 2\alpha$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理一套“对称角”的转换表，这类题目在高考填空题中经常出现，直接代入对称结论比现场推导快得多。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-09 单-诱导公式
• 2019-全国卷I文-07 单-诱导公式
• 2019-全国卷I文-15 填-诱导公式