2017-北京卷理-15 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于正弦定理、面积公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$\angle A=60^{\circ }$，$c=\frac{3}{7}a$.

(1)求 $\sin C$ 的值；

(2)若 $a=7$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求角）：已知 $\angle A$ 以及边 $a,c$ 的比例关系。利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，将边之比转化为正弦之比即可求出 $\sin C$。
2. 第二问（求面积）：

• 由 $a=7$ 可知 $c=3$。
• 面积公式为 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$。
• 目前已知 $a,c,\sin A$ 和 $\sin C$，需要求出 $\sin B$。
• 利用三角形内角和关系 $B=180^{\circ }-(A+C)$，则 $\sin B=\sin (A+C)$。通过 $\sin C$ 求出 $\cos C$（注意判断 $C$ 的范围），再利用和角公式求解。

✅【答案】

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$\frac{3\sqrt{3}}{14}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 得： $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$ 已知 $c=\frac{3}{7}a$，$\angle A=60^{\circ }$： $\sin C=\frac{\frac{3}{7}a\cdot \sin 60^{\circ }}{a}=\frac{3}{7}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$。 所以 $\sin C$ 的值为 $\frac{3\sqrt{3}}{14}$。

(2)解： 因为 $a=7$，$c=\frac{3}{7}a$，所以 $c=3$。 由(1)知 $\sin C=\frac{3\sqrt{3}}{14}$。 因为 $c<a$，所以 $\angle C<\angle A=60^{\circ }$，即 $\angle C$ 为锐角。 $\cos C=\sqrt{1-{\sin }^{2}C}=\sqrt{1-(\frac{3\sqrt{3}}{14}{)}^2}=\sqrt{1-\frac{27}{196}}=\sqrt{\frac{169}{196}}=\frac{13}{14}$。 在 $△ABC$ 中，$\sin B=\sin [180^{\circ }-(A+C)]=\sin (A+C)$： $\sin B=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{13}{14}+\frac{1}{2}\times \frac{3\sqrt{3}}{14}=\frac{13\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{28}=\frac{16\sqrt{3}}{28}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。 则 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$： $S=\frac{1}{2}\times 7\times 3\times \frac{4\sqrt{3}}{7}=\frac{21\times 4\sqrt{3}}{14}=6\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 边角互化：正弦定理是处理“比例关系”和“对边对角”问题的首选工具。
• 范围判定：在使用 $\sin C$ 求 $\cos C$ 时，必须根据大边对大角判断 $C$ 是否为锐角（本题 $c=3,a=7$，故 $C<60^{\circ }$ 必为锐角）。
• 多解情况：本题由于边长比例确定且 $c<a$，不存在双解情况，但在一般解三角形题目中需注意 $\sin C$ 对应两个角的可能。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理三角形面积的多种表达：

1. 边角式：$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$。
2. 海伦公式：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，$p$ 为半周长。
3. 坐标式：$S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形