2017-天津卷理-09 填-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的基本概念。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 已知 $a\in \mathbb{R}$，$i$ 为虚数单位.若 $\frac{a-i}{2+i}$ 为实数，则 $a$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数除法运算：利用分母的共轭复数 $2-i$ 对分子分母同时进行乘法运算，目的是将分母变为实数。
2. 整理标准形式：将运算结果整理成 $A+Bi$ 的形式（其中 $A,B$ 为实数）。
3. 利用实数定义：复数为实数的充要条件是虚部 $B=0$。
4. 求解方程：建立关于 $a$ 的一元一次方程并求解。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-2$ 【解析过程】 首先对复数进行化简： $\frac{a-i}{2+i}=\frac{(a-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$ $=\frac{2a-ai-2i+i^2}{4-i^2}$ 因为 $i^2=-1$，所以： $=\frac{(2a-1)-(a+2)i}{5}$ $=\frac{2a-1}{5}-\frac{a+2}{5}i$ 由于该复数为实数，其虚部必须为 0，即： $-\frac{a+2}{5}=0$ 解得 $a=-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 复数分类准则：
• $z=a+bi$ 为实数 $⟺b=0$；
• $z=a+bi$ 为虚数 $⟺b\ne 0$；
• $z=a+bi$ 为纯虚数 $⟺a=0$ 且 $b\ne 0$。
• 运算技巧：在处理选择填空题时，若仅要求虚部为 0，可以直接关注分子相乘后的虚部项：$(a-i)(2-i)$ 的虚部为 $-ai-2i=-(a+2)i$，直接令 $a+2=0$ 即可。
• 复数题目通常是高考卷中送分题，重点在于符号运算的准确性，特别是 $i^2=-1$ 的变换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目改为“$\frac{a-i}{2+i}$ 为纯虚数”，则 $a$ 的值应是多少？（提示：令实部为 0 且虚部不为 0，即 $2a-1=0⟹a=1/2$）。
2. 知识关联：复数在坐标系中对应点 $(A,B)$，本题条件等价于该点落在 $x$ 轴上。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-02 单-复数
• 2014-湖南卷文-11 填-复数
• 2014-福建卷文-02 单-复数