2017-江苏卷-02 填-复数

本题导读

本题考查复数的乘法运算，以及复数的模长公式。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 已知复数 $z=(1+\text{i})(1+2\text{i})$，其中 $\text{i}$ 是虚数单位，则 $z$ 的模是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解法一：先算后求（常规法）

• 先进行复数乘法展开：$(a+b\text{i})(c+d\text{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\text{i}$。
• 得到 $z=A+B\text{i}$ 后，利用模长公式 $|z|=\sqrt{A^2+B^2}$ 计算。

2. 解法二：先求后乘（性质法）

• 利用复数模的重要性质：$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$。
• 分别求出 $(1+\text{i})$ 和 $(1+2\text{i})$ 的模，再相乘。这种方法在填空题中效率更高，且不易出错。

✅【答案】

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$\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：代数运算法 $z=(1+\text{i})(1+2\text{i})$ $z=1+2\text{i}+\text{i}+2{\text{i}}^2$ $z=1+3\text{i}-2$ （注意 ${\text{i}}^2=-1$） $z=-1+3\text{i}$ 则 $|z|=\sqrt{(-1{)}^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。

解法二：模长性质法（推荐） $|z|=|1+\text{i}|\cdot |1+2\text{i}|$ $|1+\text{i}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ $|1+2\text{i}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ 则 $|z|=\sqrt{2}\times \sqrt{5}=\sqrt{10}$。

故答案为：$\sqrt{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 计算细节：在解法一中，最常见的错误是忘记 ${\text{i}}^2=-1$，或者在求模时误将虚部 $3\text{i}$ 带入平方（应只带入系数 $3$）。
• 性质优越性：对于多个复数相乘或相除求模的题目，优先使用性质 $|\frac{z_1{z}_2}{z_3}|=\frac{|z_1||z_2|}{|z_3|}$，可以避开复杂的复数除法（分母实数化）运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考： 若题目要求 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$，根据解法一所得 $z=-1+3\text{i}$，则 $\bar{z}=-1-3\text{i}$。

2. 几何意义： 复数 $z=-1+3\text{i}$ 在复平面内对应点 $P(-1,3)$，则 $|z|$ 即为点 $P$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离。

复数的虚部是一个实数。例如 $a+b\text{i}$ 的虚部是 $b$ 而不是 $b\text{i}$，在填空题中若问“虚部是多少”，写带 $\text{i}$ 的结果是不给分的。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

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• 2014-湖南卷文-11 填-复数
• 2014-福建卷文-02 单-复数