2017-江苏卷-09 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的求和公式，以及等比数列的性质。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 等比数列 $\{a_n\}$ 的各项均为实数，其前 $n$ 项的和为 $S_n$，已知 $S_3=\frac{7}{4}$，$S_6=\frac{63}{4}$，则 $a_8=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断公比 $q$：若 $q=1$，则 $S_6=2S_3$，此处 $\frac{63}{4}\ne 2\times \frac{7}{4}$，故 $q\ne 1$。
2. 解法一：基本量法（方程组）

• 利用求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 列方程组。
• 通过 $\frac{S_6}{S_3}$ 消去 $a_1$ 和 $1-q$，求出 $q^3$，进而求出 $a_1$ 和 $q$。

3. 解法二：利用等比数列性质（分段和）

• 在等比数列中，$S_3,S_6-S_3,S_9-S_6$ 成等比数列，公比为 $q^3$。
• 这种方法计算量更小，更适合填空题。

✅【答案】

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32

✍【详细解析】

Abstract

解法一：基本量法 设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$。 由题意得： $\{\begin{array}{ll}\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=\frac{7}{4}& \text{—(1)}\\ \frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=\frac{63}{4}& \text{—(2)}\end{array}$ ② $÷$ ① 得：$\frac{1-q^6}{1-q^3}=\frac{63/4}{7/4}=9$。 利用平方差公式 $1-q^6=(1-q^3)(1+q^3)$，得： $1+q^3=9\Rightarrow q^3=8$。 解得 $q=2$。 将 $q=2$ 代入 ①：$\frac{a_1(1-8)}{1-2}=\frac{7}{4}\Rightarrow 7a_1=\frac{7}{4}\Rightarrow a_1=\frac{1}{4}$。 则 $a_8=a_1{q}^7=\frac{1}{4}\times 2^7=\frac{1}{4}\times 128=32$。

解法二：性质法（推荐） 在等比数列中，$S_3$，$S_6-S_3$，$S_9-S_6$ 成等比数列，公比为 $q^3$。 已知 $S_3=\frac{7}{4}$，$S_6-S_3=\frac{63}{4}-\frac{7}{4}=\frac{56}{4}=14$。 设公比为 $Q=q^3$，则 $14=\frac{7}{4}\cdot Q\Rightarrow Q=8$，即 $q^3=8\Rightarrow q=2$。 又 $S_3=a_1+a_2+a_3=a_1(1+q+q^2)=a_1(1+2+4)=7a_1$。 由 $7a_1=\frac{7}{4}$ 得 $a_1=\frac{1}{4}$。 则 $a_8=a_1{q}^7=\frac{1}{4}\times 2^7=32$。

故答案为：32。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 计算技巧：在处理 $\frac{S_{2n}}{S_n}$ 时，利用 $1-q^{2n}=(1-q^n)(1+q^n)$ 进行约分是固定套路。
• 各项为实数：题目强调“各项均为实数”，这保证了 $q^3=8$ 只能得到实数解 $q=2$，避免了复数根的干扰。
• 填空题中，能用性质尽量用性质。例如 $S_3,S_6,S_9$ 的关系往往能通过整体代换（如 $q^3$）快速破题，而不必非要算出 $a_1$ 的具体数值（虽然本题计算 $a_1$ 也很简单）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

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• 2014-广东卷文-13 填-等比数列
• 2015-四川卷文-16 解-等比数列
• 2015-新课标I卷文-13 填-等比数列