2014-广东卷文-13 填-等比数列

本题导读

对数和 = 真数之积的对数，而 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} = (a_{1} a_{5})^{5/2}$ 。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)）等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{1} a_{5} = 4$ ，则 $lo g_{2} a_{1} + lo g_{2} a_{2} + lo g_{2} a_{3} + lo g_{2} a_{4} + lo g_{2} a_{5} =$

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由等比中项 $a_{1} a_{5} = a_{2} a_{4} = a_{3}^{2}$ 。

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$5$

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Abstract

$lo g_{2} a_{1} + \dots + lo g_{2} a_{5} = lo g_{2} (a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5})$ 。等比数列中 $a_{1} a_{5} = a_{2} a_{4} = a_{3}^{2} = 4$ ，故 $a_{3} = 2$ ，且 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} = (a_{1} a_{5}) \cdot (a_{2} a_{4}) \cdot a_{3} = 4 \times 4 \times 2 = 32$ 。故原式 $= lo g_{2} 32 = 5$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的性质（等比中项）

核心方法：对数化乘积 + 等距项配对

避坑指南：各项为正保证对数有意义； $a_{1} a_{5} = a_{2} a_{4} = a_{3}^{2}$ 是等比数列的对称性质，五项之积即 $a_{3}^{5}$ ，用 $a_{1} a_{5} = a_{3}^{2} = 4$ 得 $a_{3} = 2$ ，积 $= 2^{5} = 32$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 等比数列与对数结合的常规题。

结论推广: 推广：等比数列前 $2 m + 1$ 项之积 $= (a_{m + 1})^{2 m + 1}$ ；对数和恒等于 $lo g$ 该积。

方法推广: 对数串求和：先合并真数、再用数列对称性质化简。

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