2017-浙江卷-16 填-排列组合

本题导读

本题考查排列组合的综合应用，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 $\underline{}$ 种不同的选法.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确职务分配：

• 服务队共 4 人。
• 职务有别：队长（1人）、副队长（1人）。
• 职务无别：普通队员（2人）。

2. 选择策略：先选人，后排职：

• 第一步：从 8 人中选出 4 人组成队伍。
• 第二步：从这 4 人中选出队长（$C_4^1$），再从剩下 3 人中选出副队长（$C_3^1$），剩下 2 人自动成为普通队员。
• 或者：从 8 人中依次选出队长、副队长，再选 2 名队员。

3. 处理特殊条件“至少 1 名女生”：

• 直接法：分类讨论“1名女生3名男生”和“2名女生2名男生”。
• 间接法（推荐）：总选法减去“全为男生”的选法。

✅【答案】

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$660$

✍【详细解析】

Abstract

解：利用间接法计算

1. 计算不加限制的总选法数量：

• 先从 8 人中选出 4 人：$C_8^4$。

• 再从这 4 人中确定队长和副队长：$A_4^2$（或 $C_4^1\cdot C_3^1$）。

• 总数 $N_{总}=C_8^4\cdot A_4^2=70\times 12=840$。

2. 计算“全为男生”的选法数量：

• 从 6 名男生中选出 4 人组成队伍：$C_6^4$。

• 再从这 4 名男生中确定队长和副队长：$A_4^2$。

• 纯男生数 $N_{男}=C_6^4\cdot A_4^2=15\times 12=180$。

3. 计算符合条件的选法：

• $N=N_{总}-N_{男}=840-180=660$。

故答案为：$660$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 排列与组合的区分：队长和副队长是有顺序（职权不同）的，对应排列；普通队员是无顺序的，对应组合。
• “至少”问题的通解：看到“至少”、“至多”字眼，应优先联想“正难则反”的逻辑，用总数减去对立面往往能显著减少分类讨论的计算量。
• 本题易错点在于职务分配。一定要注意普通队员 2 人之间是没有顺序差别的，不需要再对他们进行排列。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若要求“队长必须是女生”，该如何计算？

• 先从 2 女中选 1 人当队长（$C_2^1$），再从剩下 7 人中选副队长（$C_7^1$），最后从剩下 6 人中选 2 名队员（$C_6^2$）。结果为 $2\times 7\times 15=210$。

2. 知识关联：本题是排列组合与概率统计的交叉基础，掌握好“先选后排”原则能解决绝大多数此类应用题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2018-江苏卷-23 解-排列组合
• 2020-全国卷II理-14 填-排列组合
• 2020-全国卷I文-04 单-排列组合