2018-上海卷-05 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的模的计算。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）已知复数 $z$ 满足 $(1+i)z=1-7i$（$i$ 是虚数单位），则 $|z|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解方程求 $z$：将方程变形为 $z=\frac{1-7i}{1+i}$。

2. 复数化简：利用“分子分母同乘分母的共轭复数”的方法进行除法运算，将 $z$ 化为 $a+bi$ 的形式。

3. 计算模长：利用公式 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算结果。

4. 快捷思路（模的性质）：利用 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$，直接计算 $|1+i|\cdot |z|=|1-7i|$。

✅【答案】

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5

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 5

【解析过程】

方法一（定义法）：

由 $(1+i)z=1-7i$，得：

$z=\frac{1-7i}{1+i}=\frac{(1-7i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$

$=\frac{1-i-7i+7i^2}{1^2+1^2}=\frac{1-8i-7}{2}$

$=\frac{-6-8i}{2}=-3-4i$。

则 $|z|=\sqrt{(-3{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$。

方法二（模的性质法）：

由于 $|(1+i)z|=|1-7i|$，

则 $|1+i|\cdot |z|=|1-7i|$。

即 $\sqrt{1^2+1^2}\cdot |z|=\sqrt{1^2+(-7{)}^2}$

$\sqrt{2}\cdot |z|=\sqrt{50}$

$|z|=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$。

故答案为：5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 运算准确性：复数除法中，$i^2=-1$ 带来的符号变化是学生最常出错的点。

2. 方法优选：对于求复数模的题目，优先考虑利用模的积等于积的模（$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$）或商的模等于模的商（$|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$），这样可以避开繁琐的复数除法化简，大幅提高解题速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记下复数模的常用性质，应对填空压轴题：

• $|z|=|\bar{z}|=|-z|$

• $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$

• $|z_1\pm z_2|\le |z_1|+|z_2|$（三角不等式）

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🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭
• 2014-江苏卷-02 填-复数运算