2018-上海卷-16 单-函数概念

本题导读

本题考查函数的概念，以及图形的旋转变换。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）设 $D$ 是含数 1 的有限实数集，$f(x)$ 是定义在 $D$ 上的函数.若 $f(x)$ 的图象绕原点逆时针旋转 $\frac{\pi }{6}$ 后与原图象重合，则在以下各项中，$f(1)$ 的可能取值只能是()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. 0

🔍【思路分析】

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1. 理解重合的含义：旋转 $\frac{\pi }{6}$ 后重合，意味着如果点 $(x,y)$ 在图象上，那么它绕原点旋转 $\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{6},\dots ,\frac{11\pi }{6}$ 后的所有点都在原图象上。

2. 函数定义的约束：函数图象上的点必须满足对于每一个 $x\in D$，有且只有一个 $y$ 与之对应。这意味着在图象上，任意两个不同的点其横坐标不能相同。

3. 坐标转换（极坐标法）：

   • 设点 $P(1,f(1))$。在极坐标下可表示为 $P(r,\theta )$，其中 $r=\sqrt{1^2+[f(1){]}^2}$，$\cos \theta =\frac{1}{r}$。

   • 旋转 $\frac{\pi }{6}$ 后的点为 $P_k(r,\theta +k\frac{\pi }{6})$ ($k=1,2,\dots ,11$)。

   • 这些点 $P_k$ 的横坐标为 $x_k=r\cos (\theta +k\frac{\pi }{6})$。

4. 关键矛盾：如果存在某个 $k$ 使得 $x_k=x_m$（且纵坐标不同），或者 $x_k=1$（且 $k\ne 0,12$），则不符合函数定义。

5. 检验选项：观察旋转序列中是否会出现横坐标重复的现象。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

设 $f(1)=y_0$。点 $P(1,y_0)$ 在图象上。

根据题意，点 $P$ 绕原点旋转 $\frac{\pi }{6}$ 的整数倍后的点均在图象上。这些点分布在半径为 $r=\sqrt{1+y_0^2}$ 的圆上，且每两个相邻点对原点的张角为 $30^{\circ }$。

要在同一个图象上，这 12 个点（或其子集）的横坐标必须互不相同。

由于圆上的点关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，若某个点的横坐标为 $x$，则其关于 $x$ 轴对称的点横坐标也为 $x$。

• 若 $f(1)=\sqrt{3}$：点为 $(1,\sqrt{3})$，极角 $\theta =60^{\circ }$。

  旋转 $30^{\circ }$ 后得 $(r\cos 90^{\circ },r\sin 90^{\circ })=(0,2)$。

  再旋转 $30^{\circ }$ 后得 $(r\cos 120^{\circ },r\sin 120^{\circ })=(-1,\sqrt{3})$。

  此时 $x=1$ 和 $x=-1$ 似乎没问题，但旋转 $k=10$ 次（即转 $-60^{\circ }$）时，点变为 $(r\cos 0^{\circ },r\sin 0^{\circ })=(2,0)$。

  继续检验：当 $\theta =60^{\circ }$ 时，旋转 $30^{\circ }$ 序列中会出现 $\theta =60^{\circ }$ 和 $\theta =120^{\circ }$（横坐标相同，均为 $r\cos 120^{\circ }=-1$？不对，是 $r\cos 60^{\circ }=r\cos (-60^{\circ })$）。

  即当 $\theta$ 是 $15^{\circ }$ 的整数倍时，容易出现 $x$ 轴对称点。

• 关键判定：

  要使 12 个点的横坐标各不相同，这些点不能关于 $x$ 轴对称。

  即 $\theta +k\frac{\pi }{6}\ne -(\theta +m\frac{\pi }{6})+2n\pi$。

  化简得 $2\theta \ne \frac{N\pi }{6}$，即 $\theta$ 不能是 $15^{\circ }$ 的整数倍。

  A选项：$\tan \theta =\sqrt{3}⟹\theta =60^{\circ }$（排除）。

  C选项：$\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}⟹\theta =30^{\circ }$（排除）。

  D选项：$\tan \theta =0⟹\theta =0^{\circ }$（排除）。

  B选项：$f(1)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时 $\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\theta \approx 40.9^{\circ }$，不是 $15^{\circ }$ 的倍数，满足条件。

  故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 函数定义的本质：本题利用旋转变换掩盖了“垂直线检验”（Vertical Line Test）。函数图象上任何垂直于 $x$ 轴的直线与图象至多有一个交点。

2. 对称性陷阱：旋转对称图形往往具有轴对称性，而轴对称（关于 $x$ 轴）是函数的大忌。

3. 排除法的妙用：在压轴题中，如果直接推导困难，通过特殊值排除具有对称特征的角（$0^{\circ },30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$）往往能快速锁定答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理“函数图象旋转”的结论：

• 若函数图象绕原点旋转 $\alpha$ 后重合，则该函数在极坐标系下表现为一种“点阵”。

• 为了满足函数定义，这组点中任意两点的极角之差 $\Delta \theta$ 必须满足 $\cos (\theta )\ne \cos (\theta +\Delta \theta )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2013-江西卷理-02 单-函数定义域