2018-全国卷II理-01 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及分母实数化。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）$\frac{1+2i}{1-2i}=$()

A. $-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$　　B. $-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$　　C. $-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$　　D. $-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分母实数化：复数除法 $\frac{a+bi}{c+di}$ 的标准操作是分子、分母同时乘以分母的共轭复数 $c-di$。
2. 化简运算：利用 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ 简化分母。
3. 整理形式：将结果拆分为实部与虚部。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 根据复数的除法法则，分子分母同乘以分母的共轭复数 $(1+2i)$： $\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{(1+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}$

计算分母： $(1-2i)(1+2i)=1^2+2^2=5$

计算分子： $(1+2i{)}^2=1+4i+(2i{)}^2=1+4i-4=-3+4i$

整理得： $\frac{-3+4i}{5}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 运算口诀：复数除法，“共轭”先行。
2. 符号陷阱：分子展开时，$(2i{)}^2=-4$ 符号不要写错。
3. 快速检查：观察选项，分母均为 5，说明计算焦点在分子的平方展开结果上。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充：

• 幅角与模：复数相除，模相除，幅角相减。
• 本题中 $1+2i$ 与 $1-2i$ 模相等，故结果的模必为 1。
• 检查选项 D：$|z|=\sqrt{(-\frac{3}{5}{)}^2+(\frac{4}{5}{)}^2}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=1$，符合逻辑。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2023-新高考I卷-02 单-复数
• 2006-天津卷理-01 单-复数的除法运算
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法