2018-全国卷III理-09 单-三角形面积

本题导读

本题考查三角形面积公式，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）$△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $△ABC$ 的面积为 $\frac{a^2+b^2-c^2}{4}$，则 $C=$()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察已知等式：$S=\frac{a^2+b^2-c^2}{4}$。
2. 联想面积公式：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$。
3. 联想余弦定理：$a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$。
4. 建立方程：将上述两个公式代入已知等式中。 $\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{2ab\cos C}{4}$
5. 化简求解：消去非零项 $ab$，求得 $\sin C$ 与 $\cos C$ 的关系，从而得出角 $C$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 由三角形面积公式得：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$。 由余弦定理得：$a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$。 代入题设条件 $S=\frac{a^2+b^2-c^2}{4}$ 中： $\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{2ab\cos C}{4}$ 整理得： $\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ab\cos C$ 由于 $a,b>0$，所以 $ab\ne 0$，两边同时约去 $\frac{1}{2}ab$ 得： $\sin C=\cos C$ 即 $\tan C=1$。 在 $△ABC$ 中，$C\in (0,\pi )$， 所以 $C=\frac{\pi }{4}$。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 敏感项识别：看到 $a^2+b^2-c^2$ 就要像条件反射一样想到 $2ab\cos C$。同理，看到 $a^2+c^2-b^2$ 想到 $2ac\cos B$。
2. 公式统一性：解三角形大题或小题，目标通常是“化边为角”或“化角为边”。本题通过代换实现了全角化。
3. 特殊值注意：$\sin C=\cos C$ 在 $(0,\pi )$ 范围内只有 $\frac{\pi }{4}$ 这一个解。如果是 ${\sin }^{2}C={\cos }^{2}C$，则要考虑 $\frac{3\pi }{4}$ 的可能性。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个结论：

• 若 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2-c^2)$，则 $\tan C=\sqrt{3}⟹C=\frac{\pi }{3}$。
• 若 $a^2+b^2-c^2=0$，则 $C=\frac{\pi }{2}$（勾股定理）。
• 通用公式：$\tan C=\frac{4S}{a^2+b^2-c^2}$。这个公式在填空题中可以直接套用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形
• 2001-上海卷理-17 解-三角形面积公式