2018-全国卷III理-17 解-等比数列

本题导读

本题考查等比数列通项公式。核心在于基本量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）设等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_5=4a_3$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 记 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.若 $S_m=63$，求 $m$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：求通项

• 设公比为 $q$。根据等比数列通项公式，$a_5=a_1{q}^4$，$a_3=a_1{q}^2$。

• 代入已知条件 $a_5=4a_3$ 得到关于 $q$ 的方程 $q^4=4q^2$。

• 注意 $q\ne 0$，解得 $q^2=4$，从而 $q=\pm 2$。

• 分别写出 $q=2$ 和 $q=-2$ 时的通项公式。

2. 第二问：求项数 $m$

• 分情况讨论 $q$ 的取值。
• 当 $q=2$ 时，使用求和公式 $S_m=\frac{a_1(2^m-1)}{2-1}=2^m-1$。令其等于 63，解 $m$。
• 当 $q=-2$ 时，使用求和公式 $S_m=\frac{1\cdot [1-(-2{)}^m]}{1-(-2)}=\frac{1-(-2{)}^m}{3}$。令其等于 63，检查是否有正整数解。

✅【答案】

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(1) $a_n=2^{n-1}$ 或 $a_n=(-2{)}^{n-1}$

(2) $m=6$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 由 $a_5=4a_3$ 得：$a_1{q}^4=4a_1{q}^2$。 因为 $a_1=1\ne 0$ 且等比数列公比 $q\ne 0$， 所以 $q^2=4$，解得 $q=2$ 或 $q=-2$。

• 当 $q=2$ 时，$a_n=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$；
• 当 $q=-2$ 时，$a_n=1\cdot (-2{)}^{n-1}=(-2{)}^{n-1}$。 故 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=2^{n-1}$ 或 $a_n=(-2{)}^{n-1}$。

(2)解： ① 若 $q=2$，则 $S_m=\frac{1\cdot (2^m-1)}{2-1}=2^m-1$。 由 $S_m=63$ 得 $2^m-1=63$，即 $2^m=64$。 解得 $m=6$。

② 若 $q=-2$，则 $S_m=\frac{1\cdot [1-(-2{)}^m]}{1-(-2)}=\frac{1-(-2{)}^m}{3}$。 由 $S_m=63$ 得 $1-(-2{)}^m=189$，即 $(-2{)}^m=-188$。 由于 $(-2{)}^m$ 的取值序列为 $-2,4,-8,16,\dots$，不存在正整数 $m$ 满足此方程。

综上所述，$m=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 公比的正负性：在等比数列中，若已知项的关系涉及偶数次方（如 $q^2$ 或 $q^4$），务必考虑公比 $q$ 为负数的情况。除非题目明确说明是“正项等比数列”。
2. 求和公式的选择：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 适用于 $q\ne 1$。若 $q=1$，则 $S_n=n{a}_1$。
3. 计算验证：对于指数方程 $(-2{)}^m=-188$，可以通过 $2^7=128,2^8=256$ 快速判断无整数解。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个直觉：

• 当 $q>1$ 时，数列单调且和增长极快。
• 当 $q<0$ 时，数列项正负交替，前 $n$ 项和会呈现波动状态，这解释了为什么 $q=-2$ 时 $S_m=63$ 难以达到（和的绝对值由于正负抵消会比同模正公比的情况小）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-江西卷理-03 单-等比中项