2018-浙江卷-04 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及共轭复数的概念。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）若复数 $z=\frac{2}{1-i}$，其中 $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z}=$()

A. $1+i$　　　　B. $1-i$　　　　C. $-1+i$　　　　D. $-1-i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数标准化：给出的 $z$ 是分式形式，需要利用“分子分母同乘分母的共轭复数”的方法进行实数化。

2. 计算 $z$ 的值：

   • 分母 $1-i$ 的共轭是 $1+i$。

   • 计算 $(1-i)(1+i)=1^2-i^2=1-(-1)=2$。

   • 化简得出 $z=a+bi$ 的形式。

3. 求共轭复数：根据共轭复数的定义，若 $z=a+bi$，则 $\bar{z}=a-bi$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

首先将复数 $z$ 化为标准形式：

$z=\frac{2}{1-i}=\frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

根据平方差公式 $(a-bi)(a+bi)=a^2+b^2$：

$z=\frac{2(1+i)}{1^2+1^2}=\frac{2(1+i)}{2}=1+i$

由 $z=1+i$，根据共轭复数的定义（实部相同，虚部互为相反数）：

$\bar{z}=1-i$

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分母实数化：这是复数计算的核心。核心公式是 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$。

2. 概念辨析：

   • 共轭复数 $\bar{z}$：虚部变号。

   • 复数的模 $|z|$：$\sqrt{a^2+b^2}$。

   • 对应点：$z=a+bi$ 对应坐标系中的点 $(a,b)$。

3. 浙江卷趋势：复数题通常排在试卷前 5 题，属于“必须拿分”的基础题。计算时务必注意 $i^2=-1$ 带来的符号变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记下这些高频出现的计算结果，提高解题速度：

• $\frac{1}{i}=-i$

• $(1\pm i{)}^2=\pm 2i$

• $\frac{1+i}{1-i}=i$

• $\frac{1-i}{1+i}=-i$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法