2019-全国卷II理-11 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与离心率，以及圆的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）设 $F$ 为双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的右焦点，$O$ 为坐标原点，以 $OF$ 为直径的圆与圆 $x^2+y^2=a^2$ 交于 $P,Q$ 两点。若 $|PQ|=|OF|$，则 $C$ 的离心率为()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

确定圆的方程：

• 圆 $O$: $x^2+y^2=a^2$，圆心为 $(0,0)$，半径为 $a$。
• 圆 $M$: 以 $OF$ 为直径。已知 $F(c,0)$，则圆心 $M$ 为 $(\frac{c}{2},0)$，半径 $R=\frac{c}{2}$。其方程为 $(x-\frac{c}{2}{)}^2+y^2=(\frac{c}{2}{)}^2$。 分析交弦 PQ：
• 根据对称性，线段 $PQ$ 关于 $x$ 轴对称，且 $PQ\perp x$ 轴。
• 已知 $|PQ|=|OF|=c$，由对称性知 $P$ 点的纵坐标为 $\frac{c}{2}$。 确定 P 点位置：
• 观察圆 $M$ 的半径正好是 $\frac{c}{2}$。当 $P$ 的纵坐标为 $\frac{c}{2}$ 时，由于 $P$ 在圆 $M$ 上，且 $\frac{c}{2}$ 已经是该圆的最大纵坐标（半径值），说明 $P$ 点必然位于圆 $M$ 内部垂直于直径的半径端点上。
• 由此推得 $P$ 的横坐标必为圆心横坐标 $\frac{c}{2}$。 建立 a, c 关系：
• 将 $P(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$ 代入圆 $O$ 的方程 $x^2+y^2=a^2$，求出 $c^2$ 与 $a^2$ 的比例关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】

几何特征分析： 设右焦点 $F(c,0)$。以 $OF$ 为直径的圆 $M$，其圆心为 $M(\frac{c}{2},0)$，半径 $r=\frac{c}{2}$。 由于 $|PQ|=c$ 且 $PQ$ 关于 $x$ 轴对称， 设 $PQ$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，则 $PA\perp x$ 轴且 $|PA|=\frac{c}{2}$。 确定 P 点坐标： 在圆 $M$ 中，半径为 $\frac{c}{2}$。点 $P$ 在圆 $M$ 上且其到 $x$ 轴的距离（纵坐标绝对值）等于半径 $\frac{c}{2}$。 这意味着 $PA$ 必须过圆心 $M$，即点 $A$ 与圆心 $M$ 重合。 因此，点 $P$ 的横坐标 $x_P=\frac{c}{2}$，纵坐标 $y_P=\frac{c}{2}$（或 $-\frac{c}{2}$）。 即 $P(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$。 代入圆方程： 又点 $P$ 在圆 $x^2+y^2=a^2$ 上，代入得： $(\frac{c}{2}{)}^2+(\frac{c}{2}{)}^2=a^2$ $\frac{c^2}{4}+\frac{c^2}{4}=a^2⟹\frac{c^2}{2}=a^2$ 计算离心率： $\frac{c^2}{a^2}=2$ 则 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

数形结合的优势： 本题若直接联立两个圆的方程求公共弦，运算量极大。通过观察“弦长等于直径”这一特殊条件，利用圆的几何对称性锁定点 $P$ 的坐标是解题的捷径。

易错点：

1. 混淆直径与半径：以 $OF$ 为直径，半径是 $\frac{c}{2}$ 而非 $c$。
2. 忽视对称性：未能发现 $PQ$ 被 $x$ 轴平分且垂直。 离心率的本质： 离心率 $e$ 只与 $a,b,c$ 的比例有关。在题目中看到 $|PQ|=|OF|$ 这种比例关系时，应立刻意识到这是求解 $e$ 的突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以归纳离心率求解的三种常用模型：

1. 定义型：利用椭圆/双曲线定义 $r_1\pm r_2=2a$。
2. 几何型：利用图形中的直角三角形、相似三角形建立 a, b, c 的关系。
3. 方程型：如本题，找到曲线上一个特殊点的坐标 $(x_0,y_0)$，代入曲线方程或相关辅助圆方程求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理