2019-全国卷III理-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数单位 $i$ 的性质。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）若 $z(1+i)=2i$，则 $z=$()

A. $-1-i$　　　　B. $-1+i$　　　　C. $1-i$　　　　D. $1+i$

🔍【思路分析】

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1. 方程转化： 将原等式变形为 $z=\frac{2i}{1+i}$。
2. 分母实数化： 分子、分母同时乘以分母的共轭复数 $(1-i)$，利用 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ 将分母变为实数。
3. 化简求值： 展开分子并合并同类项，注意 $i^2=-1$，最后得出 $z$ 的代数形式。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 由已知 $z(1+i)=2i$，可得： $z=\frac{2i}{1+i}$ 分子分母同时乘以 $(1-i)$： $z=\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}$ 展开分子与分母： $z=\frac{2i-2i^2}{1^2-i^2}$ 由于 $i^2=-1$，代入得： $z=\frac{2i+2}{1+1}=\frac{2(1+i)}{2}=1+i$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 复数除法的核心：复数除法的本质是“分母实数化”，这与无理式除法中的“分母有理化”逻辑一致。
2. 运算素养：在计算 $(1+i)(1-i)$ 时，可以直接记常用结论：$(1\pm i{)}^2=\pm 2i$，$(1+i)(1-i)=2$。这些“二级结论”能显著提高运算速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，建议补充以下关联技巧：

1. 几何意义辅助： 复数 $z=\frac{2i}{1+i}$ 在复平面上对应向量的旋转与伸缩。$1+i$ 对应的模为 $\sqrt{2}$，辐角为 $45^{\circ }$；$2i$ 对应的模为 $2$，辐角为 $90^{\circ }$。通过模长相除、辐角相减，可得 $z$ 的模为 $\sqrt{2}$，辐角为 $45^{\circ }$，即 $z=1+i$。

2. 待定系数法（方程思想）： 设 $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$)，代入原式： $(x+yi)(1+i)=(x-y)+(x+y)i=2i$ 根据复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部）： $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y=2\end{array}$ 解得 $x=1,y=1$，故 $z=1+i$。

3. 常用复数恒等式：

• $\frac{1+i}{1-i}=i$
• $\frac{1-i}{1+i}=-i$
• $\omega =\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$（单位根，满足 ${\omega }^3=1$）

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义