2019-天津卷文-09 填-复数模

本题导读

本题考查复数的模，以及复数的除法运算。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）$\mathrm{i}$ 是虚数单位，则 $\left|\frac{5-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right|$ 的值为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

利用复数模的乘除性质：$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$，分别计算分子和分母的模。

✅【答案】

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$\sqrt{13}$

✍【详细解析】

Abstract

由复数模的性质可得： $\left|\frac{5-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right|=\frac{|5-\mathrm{i}|}{|1+\mathrm{i}|}=\frac{\sqrt{5^2+(-1{)}^2}}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{2}}=\sqrt{13}$。 故答案为：$\sqrt{13}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的模长计算。
2. 核心方法：利用 $|z_1/z_2|=|z_1|/|z_2|$ 可以避免繁琐的复数除法分母实数化。
3. 避坑指南：注意实部与虚部平方和开根号时的符号与计算准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考复数填空题常考基础题。
2. 结论推广: $|z_1\cdot z_2|=|z_1||z_2|$ 且 $|z^n|=|z{|}^n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2010-江苏卷-02 填-复数的模