2019-天津卷理-12 填-圆的参数方程

本题导读

本题考查圆的参数方程，以及圆的普通方程。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）设 $a\in \mathbb{R}$，直线 $ax-y+2=0$ 和圆 $\{\begin{array}{l}x=2+2\cos \theta \\ y=1+2\sin \theta \end{array}$ ($\theta$ 为参数) 相切，则 $a$ 的值为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 消参化简：利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$，将圆的参数方程化为标准方程 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$。
2. 提取圆信息：确定圆心坐标 $(x_0,y_0)$ 和半径 $r$。
3. 利用相切条件：直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离 $d$ 等于半径 $r$。
4. 构建并解方程：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 列出关于 $a$ 的方程并求解。

✅【答案】

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$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{3}{4}$

【解析过程】

1. 转化圆的方程： 由参数方程知：$\cos \theta =\frac{x-2}{2},\sin \theta =\frac{y-1}{2}$。 代入 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 得： ${\left(\frac{x-2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y-1}{2}\right)}^2=1⟹(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$ 所以圆心为 $C(2,1)$，半径 $r=2$。

2. 建立距离等式： 已知直线方程为 $ax-y+2=0$。 圆心 $C(2,1)$ 到该直线的距离 $d$ 为： $d=\frac{|a\cdot 2-1+2|}{\sqrt{a^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2a+1|}{\sqrt{a^2+1}}$

3. 求解参数 $a$： 由直线与圆相切得 $d=r$，即： $\frac{|2a+1|}{\sqrt{a^2+1}}=2$ 两边平方得： $\frac{(2a+1{)}^2}{a^2+1}=4⟹4a^2+4a+1=4(a^2+1)$ $4a^2+4a+1=4a^2+4$ $4a=3⟹a=\frac{3}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 参数方程的意义：圆的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\ y=b+r\sin \theta \end{array}$ 中，$(a,b)$ 即为圆心，$r$ 为半径。熟记此模版可免去消参步骤。
2. 方法选择：处理直线与圆的关系，几何法（利用 $d$ 与 $r$ 的关系）通常比代数法（联立方程判别式 $\Delta$）计算量更小，且更不容易出错。
3. 距离公式注意点：分子绝对值内的常数项正负号，以及分母是 $x,y$ 系数的平方和，需计算准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下判定准则：

• 相离：$d>r$。
• 相切：$d=r$。
• 相交：$d<r$。
• 过圆心：$d=0$（即圆心坐标满足直线方程）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理