2019-江苏卷-20 解-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的定义与通项公式。核心在于待定系数法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”。

(1)已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_2{a}_4=a_5,a_3-4a_2+4a_1=0$，求证：数列 $\{a_n\}$ 为“M－数列”；

(2)已知数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_1=1,\frac{1}{S_n}=\frac{2}{b_n}-\frac{2}{b_{n+1}}$，其中 $S_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和。

① 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

② 设 $m$ 为正整数，若存在“M－数列” $\{c_n\}$，对任意正整数 $k$，当 $k\le m$ 时，都有 $c_k\le b_k\le c_{k+1}$ 成立，求 $m$ 的最大值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（验证定义）：

• 设公比为 $q$。由等式建立关于 $a_1$ 和 $q$ 的方程组。
• 需证明 $a_1=1$ 且 $q>0$。

2. 第二问 ①（求通项）：

• 利用 $S_n$ 与 $b_n$ 的关系：$b_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$。
• 将已知递推式转化为关于 $b_n$ 的关系，通过代数变形证明 $\{b_n\}$ 为等差数列。

3. 第二问 ②（最值探索）：

• 转化不等式：将 $c_k\le b_k\le c_{k+1}$ 转化为 $q^{k-1}\le k\le q^k$。
• 两边取对数：转化为 $\frac{\ln k}{k}\le \ln q\le \frac{\ln k}{k-1}$。
• 构造函数：设 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$，利用导数研究其增减性，找到 $\ln q$ 的公共覆盖区间。
• 验证与排除：通过具体的 $k$ 值（如 $k=3,5,6$）计算临界范围，利用矛盾法排除 $m=6$ 的可能性。

✅【答案】

点击查看答案

(1)证明见解析。

(2)① $b_n=n$；② $m$ 的最大值为 $5$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 由 $a_2{a}_4=a_5$ 得：$(a_{1}q)(a_1{q}^3)=a_1{q}^4⟹a_1^2{q}^4=a_1{q}^4$。 因为等比数列项不为 0，故 $a_1=1$。 由 $a_3-4a_2+4a_1=0$ 得：$1\cdot q^2-4q+4=0⟹(q-2{)}^2=0$， 解得 $q=2>0$。 因为首项为 1 且公比为正数，所以 $\{a_n\}$ 为“M－数列”。

(2)解： ① 求通项： 由 $b_1=1$ 知 $S_1=1$。代入 $\frac{1}{S_1}=\frac{2}{b_1}-\frac{2}{b_2}$ 得 $1=2-\frac{2}{b_2}⟹b_2=2$。 由 $\frac{1}{S_n}=\frac{2(b_{n+1}-b_n)}{b_n{b}_{n+1}}$ 得 $S_n=\frac{b_n{b}_{n+1}}{2(b_{n+1}-b_n)}$。 当 $n\ge 2$ 时，$b_n=S_n-S_{n-1}$， 即 $2b_n=\frac{b_n{b}_{n+1}}{b_{n+1}-b_n}-\frac{b_{n-1}{b}_n}{b_n-b_{n-1}}$。 两边除以 $b_n$ ($b_n\ne 0$) 并整理得：$b_{n+1}+b_{n-1}=2b_n$。 故 $\{b_n\}$ 是首项为 1，公差 $d=2-1=1$ 的等差数列。 所以 $b_n=n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)。

② 求 m 的最大值： 由题意，$q^{k-1}\le k\le q^k$ 对于 $k=1,2,\dots ,m$ 恒成立。 当 $k=1$ 时，$q^0\le 1\le q^1⟹1\le q$。 对于 $k\ge 2$，两边取对数得 $(k-1)\ln q\le \ln k\le k\ln q$，即： $\frac{\ln k}{k}\le \ln q\le \frac{\ln k}{k-1}$ 令 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$，导数 $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$。 当 $x\in (1,e)$ 时 $f(x)\nearrow$；当 $x\in (e,+\infty )$ 时 $f(x)\searrow$。 要使 $\ln q$ 存在，需满足： ${\max }_{2\le k\le m}\{\frac{\ln k}{k}\}\le {\min }_{2\le k\le m}\{\frac{\ln k}{k-1}\}$

• 当 $k=3$ 时，$f(3)=\frac{\ln 3}{3}\approx 0.366$；
• 当 $k=2$ 时，$f(2)=\frac{\ln 2}{2}\approx 0.346$。 经比较，$f(3)$ 是最大值。 当 $m=5$ 时，需验证 $\frac{\ln 3}{3}\le \ln q\le \min \{\frac{\ln 2}{1},\frac{\ln 3}{2},\frac{\ln 4}{3},\frac{\ln 5}{4}\}$。 经计算，$\frac{\ln 3}{3}\le \frac{\ln 5}{4}$ 成立（因为 $3^4<5^3$ 即 $81<125$ 不对，应该是 $5^3=125>3^4=81$，故 $\frac{\ln 5}{4}>\frac{\ln 3}{3}$）。 故 $m=5$ 时存在 $q$。 当 $m=6$ 时，需满足 $\frac{\ln 3}{3}\le \ln q\le \frac{\ln 6}{5}$。 即 $3^5\le 6^3⟹243\le 216$，矛盾。 故 $m$ 的最大值为 5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 递推数列的代数变形：在处理 $\frac{1}{S_n}$ 与 $b_n$ 混合的式子时，关键在于将 $S_n$ 表达出来，利用 $S_n-S_{n-1}$ 彻底消去 $S$ 项。
2. 函数思维解决数列问题：将 $k$ 视为变量，利用导数分析 $\frac{\ln k}{k}$ 的极值，是处理“对任意 $k$ 恒成立”问题的金钥匙。
3. 精确估值：在无法使用计算器的情况下，利用幂运算（如 $3^5$ 与 $6^3$）来比较对数的大小，是江苏卷考生的必备基本功。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 存在性转化：若存在参数 $q$ 使得 $L_k\le q\le R_k$ 对 $k\in \{1\dots m\}$ 恒成立，则等价于 $\max (L_k)\le \min (R_k)$。
• 常见比较对象：$\frac{\ln n}{n}$ 是极高频出现的函数模型，需熟记其在 $n=2$ 和 $n=3$ 处的大小关系（$\frac{\ln 3}{3}>\frac{\ln 2}{2}$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列