2019-浙江卷-04 单-三视图

本题导读

本题考查三视图还原几何体，以及柱体的体积计算。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家。他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 $V=Sh$，其中 $S$ 是柱体的底面积，$h$ 是柱体的高。若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是()

A. $158$　　　　　　B. $162$　　　　　　C. $182$　　　　　　D. $32$

🔍【思路分析】

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1. 明确几何体特征：题目已经明确告知这是一个“柱体”，且给出了体积公式 $V=Sh$。因此，我们的核心任务只有两个：求底面积 $S$ 和求高 $h$。
2. 从三视图中提取数据：

• 找高 $h$：柱体的高通常直接体现在主视图或左视图的纵向高度上（本题解析给出高 $h=6$）。
• 求底面积 $S$：柱体的底面形状通常体现在俯视图中。由于底面是不规则多边形，我们需要作辅助线（分割线），将其分割为两个我们熟悉的图形（本题中为两个直角梯形）。

3. 计算体积：分别计算两个梯形的面积并求和得到 $S$，最后代入 $V=Sh$ 求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】 根据三视图还原几何体，该几何体是一个底面为多边形、侧棱垂直于底面的直棱柱。

第一步：确定柱体的高 $h$ 从三视图（主视图/左视图）可以读出，该直棱柱的高为： $h=6$

第二步：计算柱体的底面积 $S$ 从俯视图可以看出，该棱柱的底面是一个不规则多边形。我们沿中间的虚线（或特征点所在垂线）将其分割为左右两个直角梯形：

• 左侧梯形：上底 $a_1=4$，下底 $b_1=6$，高 $h_1=3$。 其面积 $S_1=\frac{(4+6)\times 3}{2}=15$。
• 右侧梯形：上底 $a_2=2$，下底 $b_2=6$，高 $h_2=3$。 其面积 $S_2=\frac{(2+6)\times 3}{2}=12$。

底面总面积 $S$ 为两个梯形面积之和： $S=S_1+S_2=15+12=27$

第三步：计算总体积 $V$ 根据柱体体积公式 $V=Sh$，代入求得的数据： $V=27\times 6=162$

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “长对正、高平齐、宽相等”：这是看三视图的九字真言。底面的各种边长通常要在俯视图中找，而柱体的高则在主视图或左视图中找。
2. 多边形面积的“割补法”：在高考三视图中，如果俯视图不是标准的三角形或矩形，千万不要硬套公式。用一条辅助线把它“割”成几个直角梯形或三角形，是容错率最高的做法。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以顺便记录一下这个经常作为高考背景知识的中国数学史亮点：

• 原文：“幂势既同，则积不容异。”
• 幂 (mì)：指截面积。
• 势 (shì)：指几何体的高。
• 积 (jī)：指体积。
• 现代数学翻译：夹在两个平行平面之间的两个立体几何图形，如果被平行于这两个平面的任意一个平面所截，得到的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积必定相等。
• 西方对应：在西方数学史中，这被称为卡瓦列里原理 (Cavalieri’s principle)，由意大利数学家卡瓦列里在 1635 年提出，比我国的祖暅（南北朝时期，公元 5 世纪）晚了一千多年。
• 应用场景：不仅适用于柱体（直柱体与斜柱体同底同高体积相等），也常用于推导球的体积公式（利用圆柱挖去圆锥的剩余部分与半球等势）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2010-天津卷文-12 填-三视图求体积
• 2012-北京卷文-07 单-三视图表面积
• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积