2019-浙江卷-11 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数的模。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）复数 $z=\frac{1}{1+i}$ ($i$ 为虚数单位)，则 $|z|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一：性质法（最快）： 利用复数模的运算法则：$|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$。 直接计算分母的模 $|1+i|$，然后相除即可。
2. 方法二：定义法（常规）： 先对复数 $z$ 进行分母实数化，化为 $a+bi$ 的形式，再利用 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

【解析过程】

解法一：性质法（推荐） 根据复数模的性质 $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$： $|z|=\left|\frac{1}{1+i}\right|=\frac{|1|}{|1+i|}$ 计算分母的模：$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 则： $|z|=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

解法二：代数运算法 先将 $z$ 化简： $z=\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{1^2-i^2}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$ 根据模的定义： $|z|=\sqrt{(\frac{1}{2}{)}^2+(-\frac{1}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

故答案为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 复数模的常用性质：

• $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$
• $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$
• $|z^n|=|z{|}^n$ 在求复杂复数表达式的模时，先利用这些性质拆分，比先化简复数再求模要快得多。

2. 基本计算注意：$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$，注意虚部是 $b$ 而不是 $bi$，计算时不要带上 $i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以顺便复习复数在复平面上的几何表现：

• 点与向量：复数 $z=a+bi$ 对应复平面上的点 $(a,b)$，也对应以原点为起点的向量 $\overrightarrow{OZ}$。
• 模的意义：$|z|$ 的几何意义是点 $Z$ 到坐标原点的距离。
• 圆的方程：若 $|z-z_0|=r$，则表示以 $z_0$ 对应的点为圆心，$r$ 为半径的圆。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义