2020-全国卷I文-21 解-圆锥曲线综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于待定系数法、联立方程法 (韦达定理/根的分布)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）20. 已知 $A,B$ 分别为椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$ 的左、右顶点，$G$ 为 $E$ 的上顶点，$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=8$，$P$ 为直线 $x=6$ 上的动点，$PA$ 与 $E$ 的另一交点为 $C$，$PB$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$。

（1）求 $E$ 的方程；

（2）证明：直线 $CD$ 过定点。

🔍【思路分析】

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（1）求椭圆方程：

• 写出顶点坐标：$A(-a,0),B(a,0),G(0,1)$。
• 计算向量：$\overrightarrow{AG}=(a,1),\overrightarrow{GB}=(a,-1)$。
• 利用数量积公式求出 $a$。

（2）证明定点：

• 参数设定： 设 $P(6,y_0)$。
• 求点 C： 写出直线 $PA$ 方程，与椭圆方程联立。利用 $A$ 点坐标是方程的一个已知根，通过韦达定理快速求出 $C$ 的坐标（含 $y_0$）。
• 求点 D： 同理求出 $D$ 的坐标。
• 写直线 CD： 利用 $C,D$ 坐标写出直线 $CD$ 的方程。
• 锁定定点： 观察方程结构，寻找与 $y_0$ 无关的 $x,y$ 对应值。

✅【答案】

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$a^2-1=8⟹a^2=9$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $E$ 的方程 依题意，$A(-a,0),B(a,0),G(0,1)$。 则 $\overrightarrow{AG}=(0-(-a),1-0)=(a,1)$， $\overrightarrow{GB}=(a-0,0-1)=(a,-1)$。 因为 $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=8$， 所以 $a^2-1=8⟹a^2=9$。 又 $a>1$，故 $a=3$。 椭圆 $E$ 的方程为：$\frac{x^2}{9}+y^2=1$。

（2）证明：直线 $CD$ 过定点 设 $P(6,m)$，其中 $m$ 为参数。

1. 求点 $C$ 坐标： 直线 $PA$ 过 $A(-3,0)$ 和 $P(6,m)$，斜率 $k_1=\frac{m}{9}$。 直线 $PA$ 方程为：$y=\frac{m}{9}(x+3)$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=\frac{m}{9}(x+3)\\ x^2+9y^2=9\end{array}$，得 $x^2+9\cdot \frac{m^2}{81}(x+3{)}^2=9$。 化简为 $(9+m^2)x^2+6m^{2}x+9m^2-81=0$。 由韦达定理 $x_A\cdot x_C=\frac{9m^2-81}{9+m^2}$，已知 $x_A=-3$， 得 $x_C=\frac{27-3m^2}{9+m^2}$。代入直线方程得 $y_C=\frac{6m}{9+m^2}$。

2. 求点 $D$ 坐标： 直线 $PB$ 过 $B(3,0)$ 和 $P(6,m)$，斜率 $k_2=\frac{m}{3}$。 直线 $PB$ 方程为：$y=\frac{m}{3}(x-3)$。 联立椭圆方程得：$x^2+9\cdot \frac{m^2}{9}(x-3{)}^2=9⟹(1+m^2)x^2-6m^{2}x+9m^2-9=0$。 由 $x_B\cdot x_D=\frac{9m^2-9}{1+m^2}$，已知 $x_B=3$， 得 $x_D=\frac{3m^2-3}{1+m^2}$。代入直线方程得 $y_D=\frac{-2m}{1+m^2}$。

3. 求直线 $CD$ 方程并定点： 设直线 $CD$ 经过 $x$ 轴上的点 $(x_0,0)$。若存在定点，根据对称性通常在 $x$ 轴上。 计算斜率 $k_{CD}$，利用 $\frac{y_C-0}{x_C-x_0}=\frac{y_D-0}{x_D-x_0}$ 进行验证。 经计算整理（或直接联立坐标）： 直线 $CD$ 的方程化简后可得：$y=\frac{4m}{3(3-m^2)}(x-\frac{3}{2})$。 当 $x=\frac{3}{2}$ 时，$y=0$，与 $m$ 取值无关。 故直线 $CD$ 过定点 $(\frac{3}{2},0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 韦达定理的妙用： 在直线与圆锥曲线联立时，若已知一个交点坐标，求另一个点坐标应优先使用 $x_1{x}_2=c/a$ 而非求根公式。
• 对称性推测： 动点 $P$ 在 $x=6$ 上上下运动，椭圆关于 $x$ 轴对称，因此定点大概率落在 $x$ 轴上。这可以极大地简化解方程的负担。
• 计算量控制： 解析几何大题的分值不仅在于思路，更在于能否把带参数的繁琐坐标化简出来。

📖【试题探源与推广】

Tip

这类“切点弦”或“交点弦”过定点的问题，本质上与极点极弦理论有关。对于直线 $x=x_p$，其对应的极点通常与椭圆的准线或特定比例点有关。在考场上，若计算受阻，可以尝试先猜出定点位置，再反向代入验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2013-安徽卷理-18 解-椭圆方程与性质