2020-北京卷-05 单-点与圆位置关系

本题导读

本题考查圆的定义，以及圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）5. 已知半径为 1 的圆经过点 $(3,4)$，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）

A. 4　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 7

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定圆心的轨迹： 设圆心为 $C(x,y)$。已知该圆半径为 1 且经过定点 $M(3,4)$。 根据圆的定义，圆心 $C$ 到点 $M$ 的距离恒等于半径 $r=1$。 即：$|CM|=1⟹\sqrt{(x-3{)}^2+(y-4{)}^2}=1$。 由此可知，圆心 $C$ 的轨迹是以 $M(3,4)$ 为圆心、1 为半径的圆。

2. 转化为几何最值问题： 题目要求圆心 $C$ 到原点 $O(0,0)$ 距离的最小值，即求轨迹圆上的点到原点 $O$ 距离的最小值。

根据几何性质，圆外一点到圆上各点距离的最小值等于：该点到圆心的距离减去半径。 即：$|OC{|}_{\min }=|OM|-r$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】 设圆心坐标为 $C$，定点 $M(3,4)$，原点 $O(0,0)$。 由题意得，$|CM|=1$。 计算原点 $O$ 到轨迹圆圆心 $M$ 的距离： $|OM|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ 根据三角形两边之差小于第三边（或观察几何图像）： 在 $△OCM$ 中，有 $|OC|+|CM|\ge |OM|$。 则 $|OC|\ge |OM|-|CM|=5-1=4$。 当且仅当点 $C$ 在线段 $OM$ 上时，等号成立。 所以圆心到原点的距离的最小值为 4。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义的逆向应用： “圆过定点”等价于“圆心在以该定点为圆心的轨迹上”。这种思维切换是解析几何中解决动圆问题的关键。
• 几何法优于代数法： 虽然可以通过参数方程 $x=3+\cos \theta ,y=4+\sin \theta$ 并利用三角函数最值求解，但利用 $|OM|-r$ 的几何法显然更迅速且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

这道题本质上可以看作是两个圆的位置关系：

1. 轨迹圆： $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=1$。
2. 待求圆： 以原点为圆心，半径为 $d$ 的圆。 当这两个圆内切（或外切）时，$d$ 取得最值。

• 最小值： $d=|OM|-r=4$（两圆内含，轨迹圆在内）。
• 最大值： $d=|OM|+r=6$（两圆最远点距离）。 在北京卷中，这种涉及“点-线-圆”距离最值的问题非常高频，务必熟练掌握“心距加减半径”的推导逻辑。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.03 点与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程