2020-天津卷-05 单-球表面积

本题导读

本题考查正方体的外接球性质，以及正方体体对角线公式。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）5. 若棱长为 $2\sqrt{3}$ 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

A. $12\pi$　　　　　　B. $24\pi$　　　　　　C. $36\pi$　　　　　　D. $144\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何关系识别： 正方体的 8 个顶点都在球面上，说明该球是正方体的外接球。 由于正方体中心到 8 个顶点的距离相等，这个中心即为球心。

2. 核心公式： 设正方体棱长为 $a$，其体对角线长度为 $L$： $L=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}a$ 外接球的直径 $2R=L$。

3. 计算流程： 棱长 $a\to$ 体对角线 $L\to$ 半径 $R\to$ 表面积 $S$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 计算体对角线 $L$： 已知正方体棱长 $a=2\sqrt{3}$。 则体对角线 $L=\sqrt{3}a=\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}=2\times 3=6$。

2. 确定球的半径 $R$： 因为正方体的体对角线是其外接球的直径， 所以 $2R=6⟹R=3$。

3. 计算球的表面积 $S$： 根据球的表面积公式： $S=4\pi R^2=4\pi \times 3^2=4\pi \times 9=36\pi$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 关键结论： * 正方体外接球：$2R=\sqrt{3}a$
  • 正方体内切球：$2R=a$
  • 正方体与棱相切的球：$2R=\sqrt{2}a$
• 通用扩展： 长方体的外接球直径 $2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$（其中 $a,b,c$ 为长宽高）。
• 易错点： 计算出体对角线后忘记除以 2 得到半径，或者错用球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$（天津卷中此类小失误常出现在计算环节）。

📖【试题探源与推广】

Tip

天津卷的选择题第 5 或 第 6 题常在三视图（旧教材）或球的切接问题中二选一。

• 球+组合体题型：
  1. 补形法： 遇到墙角型（三条棱两两垂直）的锥体，补成全等的长方体求外接球。
  2. 投影法： 遇到直棱柱外接球，先求底面外接圆半径 $r$，再利用 $R^2=r^2+(\frac{h}{2}{)}^2$。

快速技巧： 看到棱长 $2\sqrt{3}$，口算体对角线 $2\sqrt{3}\times \sqrt{3}=6$，半径为 $3$，表面积 $4\pi \times 9=36\pi$。全程口算不应超过 20 秒。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积
• 2008-上海卷文-16 解-正方体线面角
• 2008-江苏卷-22 解-正方体向量夹角