2020-天津卷-10 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及共轭复数的定义。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）10. $i$ 是虚数单位，复数 \frac{8-i}{2+i} =$$\underline{\hspace{2em}}.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数除法核心法则： 复数除法的目标是“分母实数化”。 对于 $\frac{z_1}{z_2}$，我们需要将分子和分母同时乘以分母 $z_2$ 的共轭复数 $\overline{z_2}$。

2. 计算步骤：

• 确定分母 $2+i$ 的共轭复数为 $2-i$。
• 分母化简利用公式：$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$。
• 分子按照多项式乘法展开，注意 $i^2=-1$。

✅【答案】

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$3-2i$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $3-2i$

【解析过程】

1. 分母实数化： $\frac{8-i}{2+i}=\frac{(8-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$

2. 计算分母： $(2+i)(2-i)=2^2-i^2=4-(-1)=5$

3. 计算分子： $(8-i)(2-i)=16-8i-2i+i^2$ $=16-10i-1=15-10i$

4. 化简结果： $\frac{15-10i}{5}=\frac{15}{5}-\frac{10i}{5}=3-2i$

故答案为：$3-2i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 共轭复数： 若 $z=a+bi$，则 $\bar{z}=a-bi$。
• 常用模平方公式： $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$。这是复数运算中最高频的简便公式。
• 易错点： 1. 分子展开时，$i^2$ 忘记变号（应为 $-1$）。 2. 最后除以分母时，只除了一项（如写成 $3-10i$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在天津新高考改革后，复数要么出现在选择题第 1 题，要么出现在填空题第 10 题。

• 常见变式：
  1. 求复数的模 $|z|$。
  2. 求复数的共轭复数 $\bar{z}$。
  3. 判定复数在复平面内对应的点所在的象限。

针对本题： 若题目问“该复数在复平面内对应的点位于第几象限”，由于结果为 $3-2i$，对应坐标 $(3,-2)$，则应回答“第四象限”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法