2020-新高考II卷-10 单-圆锥曲线判定

本题导读

本题考查圆锥曲线的方程与几何性质，以及椭圆、双曲线、圆的判定。

📌【题干】

Question

（2020年新高考II卷）已知曲线 $C:m{x}^2+n{y}^2=1$( )

A. 若 $m>n>0$, 则 $C$ 是椭圆, 其焦点在 $y$ 轴上

B. 若 $m=n>0$, 则 $C$ 是圆, 其半径为 $\sqrt{n}$

C. 若 $mn<0$, 则 $C$ 是双曲线, 其渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{-\frac{m}{n}}x$

D. 若 $m=0,n>0$, 则 $C$ 是两条直线

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对选项 (A)：将方程变形为 $\frac{x^2}{\frac{1}{m}}+\frac{y^2}{\frac{1}{n}}=1$. 因为 $m>n>0$，所以 $\frac{1}{m}<\frac{1}{n}$，即 $a^2=\frac{1}{n},b^2=\frac{1}{m}$，焦点在 $y$ 轴上，判断 (A) 是否正确。
2. 对选项 (B)：当 $m=n>0$ 时，方程为 $m(x^2+y^2)=1⟹x^2+y^2=\frac{1}{m}$，半径应为 $\frac{1}{\sqrt{m}}$ 或 $\frac{1}{\sqrt{n}}$，判断 (B) 的半径结论。
3. 对选项 (C)：若 $mn<0$，方程可化为双曲线标准方程，分析其渐近线。
4. 对选项 (D)：若 $m=0,n>0$，方程为 $n{y}^2=1⟹y=\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$，表示两条平行直线。

✅【答案】

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正确的选项为 (A)(C)(D)（注：此题为多选题）

✍【详细解析】

Abstract

选项 (A)，方程 $m{x}^2+n{y}^2=1$ 可化为标准形式：$\frac{x^2}{\frac{1}{m}}+\frac{y^2}{\frac{1}{n}}=1$。因为 $m>n>0$，所以 $\frac{1}{m}<\frac{1}{n}$，即 $y^2$ 下的分母大于 $x^2$ 下的分母，故椭圆的焦点在 $y$ 轴上，(A) 正确； 选项 (B)，若 $m=n>0$，方程为 $m(x^2+y^2)=1⟹x^2+y^2=\frac{1}{m}=\frac{1}{n}$，其半径为 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 而不是 $\sqrt{n}$，故 (B) 错误； 选项 (C)，若 $mn<0$，不妨设 $m>0,n<0$，方程可写为 $\frac{x^2}{\frac{1}{m}}-\frac{y^2}{-\frac{1}{n}}=1$，其渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{-\frac{m}{n}}x$，故 (C) 正确； 选项 (D)，若 $m=0,n>0$，方程变为 $n{y}^2=1⟹y^2=\frac{1}{n}⟹y=\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$，这代表两条平行于 $x$ 轴的直线，故 (D) 正确。 综上所述，正确的选项为 (A)(C)(D)（注：此题为多选题）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线（椭圆、双曲线、圆）的标准方程及其几何性质。
2. 核心方法：方程变形化归法、参数取值验证法。
3. 避坑指南：注意圆的方程中半径是平方根的倒数，切勿直接把分母当作半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：新高考数学多选题中常见的圆锥曲线概念辨析题。
2. 结论推广：形如 $A{x}^2+B{y}^2=C$ 的二元二次方程，通过系数的符号及大小关系可以完整分类讨论圆锥曲线的几何图形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程