2020-江苏卷-21B 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查极坐标方程的基本定义。核心在于代入法、联立方程组法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）22. [选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，已知点 $A({\rho }_1,\frac{\pi }{3})$ 在直线 $l:\rho \cos \theta =2$ 上，点 $B({\rho }_2,\frac{\pi }{6})$ 在圆 $C:\rho =4\sin \theta$ 上（其中 $\rho \ge 0,0\le \theta <2\pi$）。

（1）求 ${\rho }_1,{\rho }_2$ 的值；

（2）求出直线 $l$ 与圆 $C$ 的公共点的极坐标。

🔍【思路分析】

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（1）点在曲线上： 将点的极坐标 $(\rho ,\theta )$ 直接代入对应的极坐标方程即可。

• 对于点 $A$，代入直线方程解出 ${\rho }_1$。

• 对于点 $B$，代入圆方程解出 ${\rho }_2$。

（2）求公共点： 求公共点即解方程组： $\{\begin{array}{l}\rho \cos \theta =2\\ \rho =4\sin \theta \end{array}$

• 策略： 将 $\rho =4\sin \theta$ 代入第一式，转化为关于 $\theta$ 的三角方程。
• 注意： 算出 $\theta$ 后需回代求 $\rho$，并校验 $\rho \ge 0$ 的约束条件。

✅【答案】

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公共点极坐标 $(2\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：

1. 求 ${\rho }_1$： 将点 $A({\rho }_1,\frac{\pi }{3})$ 代入直线 $l$ 的方程 $\rho \cos \theta =2$： ${\rho }_1\cos \frac{\pi }{3}=2⟹{\rho }_1\cdot \frac{1}{2}=2⟹{\rho }_1=4$。
2. 求 ${\rho }_2$： 将点 $B({\rho }_2,\frac{\pi }{6})$ 代入圆 $C$ 的方程 $\rho =4\sin \theta$： ${\rho }_2=4\sin \frac{\pi }{6}⟹{\rho }_2=4\cdot \frac{1}{2}=2$。

（2）解： 联立直线 $l$ 与圆 $C$ 的方程： $\{\begin{array}{ll}\rho \cos \theta =2& \text{— (1)}\\ \rho =4\sin \theta & \text{— (2)}\end{array}$

1. 消去 $\rho$： 将 ② 代入 ① 得：$(4\sin \theta )\cos \theta =2$。
2. 利用倍角公式化简： $2(2\sin \theta \cos \theta )=2⟹2\sin 2\theta =2⟹\sin 2\theta =1$。
3. 解角度 $\theta$： 因为 $0\le \theta <2\pi$，所以 $0\le 2\theta <4\pi$。 由 $\sin 2\theta =1$ 得 $2\theta =\frac{\pi }{2}$ 或 $2\theta =\frac{5\pi }{2}$。 解得 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 或 $\theta =\frac{5\pi }{4}$。
4. 求极径 $\rho$ 并校验：

• 当 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 时，$\rho =4\sin \frac{\pi }{4}=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$（符合 $\rho \ge 0$）。
• 当 $\theta =\frac{5\pi }{4}$ 时，$\rho =4\sin \frac{5\pi }{4}=-2\sqrt{2}$（不符合 $\rho \ge 0$，舍去）。

5. 结论： 直线 $l$ 与圆 $C$ 公共点的极坐标为 $(2\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 极坐标的唯一性： 虽然在极坐标系中同一个点可以有无数种表达方式，但题目明确给出了 $\rho \ge 0$ 和 $0\le \theta <2\pi$，这大大简化了讨论范围。
• 计算技巧： 求交点时，利用 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ 比转化为直角坐标方程再求解往往更简洁。
• 易错点： 1. 忘记校验 $\rho \ge 0$，导致多解。 2. 对 $\rho \cos \theta =2$ 这种垂直于极轴的直线方程不熟悉。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果将圆 $C:\rho =4\sin \theta$ 转化为直角坐标方程： ${\rho }^2=4\rho \sin \theta ⟹x^2+y^2=4y⟹x^2+(y-2{)}^2=4$。 这是一座圆心在 $(0,2)$，半径为 $2$ 的圆。 直线 $l:\rho \cos \theta =2⟹x=2$。 通过直角坐标系观察，$x=2$ 正好与圆相切于点 $(2,2)$。 将直角坐标 $(2,2)$ 转回极坐标：$\rho =\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\tan \theta =1⟹\theta =\frac{\pi }{4}$。 几何直观与代数计算的统一，是检查此类题目最稳妥的方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2012-辽宁卷文-23 解-极坐标方程与公共弦
• 2014-新课标II卷文-23 解-极坐标参数方程