2014-新课标II卷文-23 解-极坐标参数方程

本题导读

(1) $x=1+\cos t$，$y=\sin t$（$0\le t\le \pi$）；(2) 切线斜率 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$，半径 $C_{0}D$ 斜率 $\sqrt{3}$，圆心角 $60^{\circ }$，$D\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） （选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho =2\cos \theta$，$\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

(1) 求 $C$ 的参数方程；

(2) 设点 $D$ 在 $C$ 上，$C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $l:y=\sqrt{3}x+2$ 垂直，根据 (1) 中你得到的参数方程，确定点 $D$ 的坐标.

🔍【思路分析】

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(1) $x=1+\cos t$，$y=\sin t$（$0\le t\le \pi$）；(2) 切线斜率 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$，半径 $C_{0}D$ 斜率 $\sqrt{3}$，圆心角 $60^{\circ }$，$D\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

✅【答案】

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(1) $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1+\cos t,\\ y=\sin t\end{array}$（$t$ 为参数，$0\le t\le \pi$） (2) $D\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，将 $\rho =2\cos \theta$ 两边乘 $\rho$：${\rho }^2=2\rho \cos \theta$，即 $x^2+y^2=2x$，$(x-1{)}^2+y^2=1$。

$\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $x\ge 0$、$y\ge 0$，曲线是上半圆（含两端点 $(2,0)$、$(0,0)$）。

参数方程：$\{\begin{array}{l}x=1+\cos t,\\ y=\sin t\end{array}$（$t$ 为参数，$0\le t\le \pi$）。

(2) 圆 $C$ 的圆心 $C_0(1,0)$，半径 1。$l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$，切线与 $l$ 垂直，故切线斜率为 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$。

切线垂直于过切点的半径，故 $C_{0}D$ 的斜率为 $\sqrt{3}$，倾斜角为 $60^{\circ }$。

由参数方程，$D$ 对应 $t=60^{\circ }$：$D=\left(1+\cos 60^{\circ },\sin 60^{\circ }\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标方程化直角坐标方程；圆的参数方程；圆的切线性质

2. 核心方法：${\rho }^2=2\rho \cos \theta$ 两边乘 $\rho$ 化普通方程；“切线 ⊥ 半径”定参数

3. 避坑指南：①$\rho =2\cos \theta$ 化普通方程的标准手法是两边同乘 $\rho$，注意别在除以 $\rho$ 时丢掉极点；②切线斜率是 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$，半径斜率才是 $\sqrt{3}$——垂直关系里”谁倒数变号”别弄反；③半圆只对应 $t\in [0,\pi ]$，取角时别落到下半圆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 极坐标与参数方程常规题（doc 考点定位：坐标系与参数方程），与 2014 年新课标Ⅰ文第 23 题（参数方程与距离最值）同卷同章，2015 年新课标Ⅰ文第 23 题同族。

2. 结论推广: 一般地，$\rho =2a\cos \theta$ 是圆心 $(a,0)$、半径 $a$ 的圆；圆上一点处”切线方向已知”等价于”半径方向已知”，可直接读出参数 $t$。

3. 方法推广: 参数方程问题：先化普通方程认清曲线形状与范围，几何条件（垂直、平行）用半径/切线方向翻译成参数值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-23 解-参数方程
• 2015-新课标I卷文-23 解-极坐标方程